Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Abel hóa nhóm cơ bản


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1 mitdac

mitdac

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết

Đã gửi 28-12-2004 - 12:38

Nhóm đồng luân thứ nhất của kg là ko abel .Khi ko gian là liên thông đường đi thì nhóm đl là duy nhất .Vậy abel hoá nhóm đl thứ nhất của kg lt đường đi có tc gì ko?
Em ở đâu anh phi trâu đến đón

#2 bupbebe

bupbebe

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Đã gửi 28-12-2004 - 19:55

Nhóm đồng luân thứ nhất của kg l  ko abel .Khi ko gian l  liên thông đường đi thì nhóm đl l  duy nhất .Vậy abel hoá nhóm đl thứ nhất của kg lt đường đi có tc gì ko?

Bạn viết không chính xác. Với mỗi không gian cho trước thì nhóm dl của nó luôn luôn duy nhất nên
không hiểu sự "duy nhất" của bạn theo nghĩa nào. Còn câu hỏi cuối cũng không chuẩn - có thể kể ngay một tính chất: nếu abel hoá nhóm đl thứ nhất của kg lt đường thì ta được một nhóm abel!

#3 Kakalotta

Kakalotta

    Thèm lấy vợ

  • Thành viên
  • 805 Bài viết
  • Đến từ:Nowhere
  • Sở thích:Em yêu

Đã gửi 29-12-2004 - 11:14

Hiển nhiên một điều là abel hoá nhóm đồng luân cấp 1 (Kí hiệu là P1(X) đi) ta sẽ thu được nhóm H1(X)
Cụ thể hơn, nếu X là liên thông đường, thì H1(X)đẳng cấu với P1(X)/[P1(X), P1(X)] trong đó [] là chỉ nhóm con chuẩn tắc sinh bởi các giao hoán tử.
Có một cách chứng minh rất hình học để thể hiện cái này, có thể giảng ngắn gọn cho tất cả mọi người viết theo quan điểm của hàm phức nhưng có thể suy rộng cho một không gian liên thông bất kỳ, nhưng không thể viết ra đây được vì không thể up load được file ảnh. Nếu có ĐK mình sẽ nói cho. Nếu không thì sẽ có rất nhiều tài liệu hay về nó.
PhDvn.org

#4 mitdac

mitdac

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết

Đã gửi 29-12-2004 - 18:50

Công nhận là hơi tối nghĩa (vì lười gõ). Duy nhất có nghĩa là nó ko phụ thuộc vào điểm cơ sở (cái này thì ai cũng biết). Còn câu hỏi thì ko biết làm thế nào cho rõ , may mà bác Kaka đã trả lời . Nhưng đoạn cuối của bác hấp dãn quá -->Bác cho em tên một tài liệu với --> Cảm ơn bác trước (hết đường chối nhé hehe)
Em ở đâu anh phi trâu đến đón

#5 Kakalotta

Kakalotta

    Thèm lấy vợ

  • Thành viên
  • 805 Bài viết
  • Đến từ:Nowhere
  • Sở thích:Em yêu

Đã gửi 29-12-2004 - 21:23

Về chứng minh chi tiết thì có trong nhiều cuốn ví dụ: cuốn Topology and geometry của brendon, ngày xưa mình đọc trên thư viện trường DHKHTN. Nếu không thì thiếu gì cuốn trình bày.
Còn nói theo kiểu hàm phức thì, phải nói thật cái đó không phải là chứng minh, nhưng mình nhớ đó là một hệ quả rất hay trong cuốn giải tích phức của S.Lang, thư viện viện toán, mình cũng không nhớ được chính xác là mình đọc hay là tự nghĩ ra lời giải.Lâu quá rồi từ hồi học gt phức. Nhưng mà dễ thôi, cứ đọc cuốn đó đi, trực quan lắm. Nói thêm là đây cũng là một cuốn khá thú vị về giải tích phức.
PhDvn.org

#6 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 03-01-2005 - 17:37

Cha nghee tiểng Viêt khsong hieu gi ca? Tam gôi thee nâ vây:
Nhom´o Homotopy thu nhất cua khong gian Paath-cônnected khỏnog phu thuoc vaô viec chon Basis-point. Vay thi rô rang abelisator cua nhom Homotopy la quotien groups modulo theo Commutator roi.
Tuc la sao: Path-connected = 0-Conneted, tuc la P0 (X,*) = 0. * chi 1 Basis-Point nao do
Con` P1(X) = [S1 ,X].
Truong hop X la 1 CW-Complex thi su dung Hurewicz-whitehead theorem.
Truong hop hay hon la X la 1 Eilenberg-Maclane Space . Cu tam goi X = K(G,n). G la Coefficient ring.
Dung Natural Transformation , Pupe-Sequence, va fibre Bundle cua Suspension chi ra duoc moi lien he giua Homotopy va Cohomology.
Viec abelisation cua P1 chuyen ve H1.
Khong biet co chung minh duoc cho X tong quat khong nhi? So la khong

#7 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 03-01-2005 - 18:37

Nhân tiện mình có 1 câu hỏi về định lý Leray-Hirsch, đang bí phần này quá, ngồi hơn 1 tháng nay rồi. Việc chứng minh ánh xạ: H*(B) tensor H*(F) ---> H*(E) với F--->E--->B (là fibre bundle) là 1 song ánh cho trường hợp B là 1 finite-dimensional CW-Complex ý mà. Trong đó H* là Cohomology ring. H*(F) là Modul tự do sinh. Tồn tại các Classes c_j thuộc H^k_j (E) sao cho i* (cj) làm thành 1 basis của H*(F) trên mọi fibre. trong đó i là Inclusion.
Làm sao mà chỉ ra được là Khi mà B deformation restracts lên B´, với B´= B {x_a} với x_a thuộc Int (e^n_a) : n-Cells. Thì cảm sinh 1 weak homotopy equivalence nhỉ. Cũng có thể do Covering chăng? Còn sau đó thì nhất định sẽ reduced Isomorphism trên tất cả các nhóm Cohomology rồi. Hừm http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/beerchug.gif :D .

Có 1 phần nữa đó là Cohomology rings of Grassmannians: Tất nhiên ai cũng biết kết quả : H* (BU(n)) = Z[c1,.....cn]. Tuy nhiên phần chứng minh sử dụng Poincare´ Series thì quá khó hiểu. Thứ nhất làm sao mà chỉ ra được Sequence sau là 1 fibre bundle: CP ( vô hạn) ---> F_n ( C vô hạn) ---> F_k ( C vô hạn).
CP ( vô hạn) ý muốn nói là projective Space của C vô hạn. Còn F_n là để chỉ n-Flag của không gian. :cry :cry :cry .

Có ai biết cách chứng minh khác cho đinh lý này không???!!!!!!
Cuối cùng là 1 lemma nhỏ tí xíu của chern character: gọi ch là ánh xạ chern:
Ch: K*(X)----> H*(X;Q). Q là rational Field. X là 1 Bundle nào đó.
Gọi ánh xạ f^k: H*(X;Q)---->H*(L;Q) với L là Line Bundle. Và f là Adams operation. Việc chúng minh ch(f)= f^k ( ch) thì đơn giản. Tuy nhiên lập luận cho rằng từ Spliting principle suy ra việc split X thành các Line bundle thì không hiểu. :ech :ech :ech http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/beat.gif . Vấn đề là chỉ các fibre mới split thôi chứ.
Xin các bạn giúp đỡ với

#8 bupbebe

bupbebe

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Đã gửi 03-01-2005 - 21:43

Nếu tôi nhớ không nhầm thì trong câu hỏi một chỉ cần đk i^{*} onto và H^{*}F
tự do, finite type trên vành R nào đó là đủ. Cần gì đk B finite-dimensional/finite?

Tôi cũng không hiểu tại sao B' lại có thể là deformation retract của B được. Ví dụ nếu B=S^{1} với cấu trúc CW-complex gồm một 0-cell và một 1-cell gắn bằng cách dán cả hai đầu vào 0-cell thì nếu khoét đi một điểm, B' sẽ giống như đoạn thẳng (0,1) không có biên, nên nó co rút được (contractible). Trong khi đó thì S^1 không phải là contractible.

Không hiểu bạn định viết weak homotopy equivalence giữa hai cái gì? Bạn phải chịu khó viết chi tiết hơn.

Về câu hỏi 2 thì tôi nhớ cách thông thường để tính cohomology của BU là
tính cohomology của BU(n) trước, rồi sau đó chứng minh lim^1 của dẫy H^* (BU(n)) triệt tiêu ( với mỗi *) để có coho của BU.

Để tính BU(n) thì có nhiều cách. Có thể tính coho của U(n) trước (đại số ngoại -
exterior algebra) rồi dùng Leray-Serre SS. Hoặc dùng luôn LSSS cho fibration
S^{2n-1} --> BU(n-1) --> BU(n) .


Câu 3 thì lâu ngày quá tôi quên rồi, phải về tra sách đã. Bạn có thể nói cho tôi bạn đang tham khảo quyển gì không?

#9 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 03-01-2005 - 23:36

Ban chua hiêu hêt´ câu thu nhât. B khong cân finite-đimensional, ma dod´ la phân proof cho truông hóp B lấ CW complex huu han chieeu.
cẩu hòi thu 2 khong lien quan gi dén lim, vi tôìn darng tinh H*(BU(n)) chu khong dat lim H*(BU(n)) = H*BU. Ket qua thi ai cung biet ca roi, tuy nhien cai kho la lap luan tim ra duoc fibre bundle.

Con co nhieu cach cm nua vi du dung Poincare-duality. Nhung toi muon hieu duoc cai ma toi hoi tho i: Do la sequence cua CP ( vo han) ----> F_n( C vo han) ---> F_k vo han tai sao la fibre bundle.

Cach cm ma ban noi cung co trong 1 cuon sach. Tuy nhien ban noi chua dung´ het. Nguoi ta phai dung song song 1 luc 2 fibration. Con 1 cai nua do la S^ 2k -1 ---> S^ vo han ---> BU(n).

#10 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 04-01-2005 - 00:07

À lúc mình Post quên không nói là mình đang cm leray-hirsch cho trường hợp B là finite-dimensional CW-Complex.
Trong định lý H* về BU(n), cách cm nào không quan trọng. Người ta còn có cách cm rất trực giác, đó là sư dụng thẳng luôn K*. Vì Cohomology theory của BU(n) là oriented. hoặc là dùng Euler Classes trước tiên, sau đó là Gysin-Sequênce.
hay như đã nói dùng Poincare-Duality, tuy nhiên cách này lại phải sử dụng Cohomology groups with compact support.
Việc chỉ ra 1 sequence là 1 fibre bundle thì phải tìm được local trivialisation. Trong câu hỏi của tớ, thì tớ không tìm đựoc mặc dù biết là xét trong 1 miền lân cận U nào đó của các n-Plane trong C vô hạn. Rồi dùng quá trình trực giao hoá của Gramm-schmidt. Tuy nhiên lập luận của tớ vừa mới bị bác bỏ tại Seminar mà tớ không hiểu tại sao. :danh :danh :danh .

Tôi đã xem 1 đống sách của Kirk, Milnor, Cohen, Hatcher, Adams,... không thấy cuốn nào viết ra gì. Xem ra có cuốn General. Coho. theory của Dixed ( quên tên tác giả rồi) thì còn được. :gian :gian

Tuy nhiên gợi ý của bạn là dùng Exterior algebra có vẻ hay đấy, không biết có liên quan gì với Postnikov Tower không???? Tớ về sẽ tra lại thêm.

Còn hôm nọ mình báo cáo cm định lý này nhờ Symmetry polynom. Xem ra không hiệu quả cho lắm. Vì mình dùng cái poincare´Series nhưng không chính xác cho lắm, cm inductiv ý mà, sử dụng vài mẹo vặt của Tensor product nữa thôi.
cách cm này dễ hiểu tuy nhiên như đã kể chuyện, cách lâp luận tìm local trivialisation của tớ bị bác bỏ.

À quên, cái trường hợp B = S^1 ý mà, tiếc là tôi không vẽ ra đây được, có 1 cách giải thích bằng hình học khá thoả đáng. Tuy nhiên tôi cũng không hiểu lắm.

Hừm, hừm mình type ẩu quá gây hiểu nhầm. Sorry, mà câu hỏi của tớ là tại sao B´lại deformation restract lên B^n-1 . trong đó B^n-1 là (n-1)-Sekleton của B.

#11 bupbebe

bupbebe

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Đã gửi 04-01-2005 - 19:22

Do la sequence cua CP ( vo han) ----> F_n( C vo han) ---> F_k vo han tai sao la fibre bundle.

Đầu tiên là có lẽ bạn lại đánh máy nhầm F_k, chắc phải là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\ell không nằm trong V_{n-1}. Còn cái thứ hai thì ngược lại - tức là .

Tôi nghĩ là bundle thứ nhất sẽ đồng phôi (homeomorphic) với bundle cần chứng minh, còn cái thứ hai thì chắc cũng dễ chứng minh nó là fibre bundle thôi, vì hơi giống như định nghĩa Hopf bundle.

Nếu phải tìm hẳn hoi một cái local trivialization thì cũng mệt thật.

  Con 1 cai nua do la S^ 2k -1 ---> S^ vo han ---> BU(n).


Tôi không tin có cái fibration này. Ngoài chuyện đánh máy k và n, thì là contractible.

#12 bupbebe

bupbebe

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Đã gửi 04-01-2005 - 19:43

Vì Cohomology theory của BU(n) là oriented.

Tôi không hiểu câu này có nghĩa gì.

Về fibre bundle thì có cuốn fibre bundle của Husemoller viết khá chi tiết, tiếc là tôi không có cuốn đó ở đây.

Còn B^{n-1} là deformation retract của B-{x_a} thì đúng rồi, nhưng cũng phải lấy đi một điểm trong x_a [b] với mỗi [b] n-cell e^n_a. Điều này là vì S^{n-1} là deformation retract của D^n -{pt}.

Ở đây có lẽ cần phải giả thiết B là finite CW complex chứ không chỉ finite dimensional.

#13 bupbebe

bupbebe

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Đã gửi 04-01-2005 - 20:24

Cuối cùng là 1 lemma nhỏ tí xíu của chern character: gọi ch là ánh xạ chern:
Ch: K*(X)----> H*(X;Q). Q là rational Field. X là 1 Bundle nào đó.
Gọi ánh xạ f^k: H*(X;Q)---->H*(L;Q) với L là Line Bundle. Và f là Adams operation. Việc chúng minh ch(f)= f^k ( ch) thì đơn giản. Tuy nhiên lập luận cho rằng từ Spliting principle suy ra việc split X thành các Line bundle thì không hiểu. http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/beat.gif http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/beat.gif http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/beat.gif http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/beat.gif . Vấn đề là chỉ các fibre mới split thôi chứ.
Xin các bạn giúp đỡ với


Theo tôi hiểu thì Splitting principle không dẫn đến việc tách X thành các line bundles. Nó chỉ chỉ ra rằng với mỗi vector bundle X = (f: E -> B) cho trước thì tồn tại một không gian B' và một ánh xạ g: B' -> B sao cho cái pull-back X' của f (là một vector bundle trên B') đẳng cấu với một tổng trực tiếp của các line bundles.

Sau đó để chứng minh ch(f)= f^k ( ch) chẳng hạn thì người ta chứng minh cho trường hợp một vector bundle là tổng trực tiếp của line bundles trước (dùng tính chất logarithmic của total Chern class). Sau đó áp dụng tính chất tự nhiên của total Chern class để chứng minh trường hợp tổng quát (pull-back từ X' về X).

#14 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 04-01-2005 - 22:45

Khoan đã, S vô hạn là contractible là đúng rồi, nhưng tớ có thể chỉ ra bundle sau là tồn tại: S vô hạn ---> E-----> G_(n-1) của C vô hạn. Cái ''fibration'' trước tớ đánh máy nhầm là chuyện bình thường thôi.
Trong đó E là cặp (P,v) với P là n-Plane trong C vô hạn và v là unit vector in P. Còn chuyện n-1 của F_(n-1) ( C vô hạn) thì đơn giản thôi, G1 của C vô hạn thì chính là CP vô hạn.
Cậu nói : ''hơi giống như định nghĩa của Hopf bundle'' là sao và ''chắc cũng dễ chứng minh là sao'' ?
S^ n-1 là deformation restract của D^n {*} thì không có nghĩa điều đó luôn đúng cho B.
Trong oriented Cohomology theory thì các '' Hành vi'' của H* gần như giống hệt K*. Đó là ý nói của tôi, cái mà bạn nói là không hiểu ý tôi nói gì.
Splitting principle tất nhiên là nói là p* ( pull-back) tách ra thành line bundles, thế mới là câu hỏi của tôi. Vì:
Trong Max Kroubi nói là mù mờ là X. Còn chuyện cm trước hết cho trường hợp tổng trực tiếp của các line bundles thì ai cũng rõ. Thế tôi mới ngạc nhiên và hỏi mọi người.

#15 bupbebe

bupbebe

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Đã gửi 05-01-2005 - 18:01

Rút cục lại thì cái "fibration" trước hay cái "bundle" bạn mới giới thiệu được người ta dùng (song song) để tính coho của BU(n)?
-------------------
Nghĩ lại tôi thấy ví dụ tôi đưa ra không giống Hopf bundle tí nào, xin được rút lại câu này. Thực ra nó giống cái bundle bạn vừa chỉ ra hơn.
------------------
Về vụ deformation retract thì để tôi lấy một ví dụ cho dễ hình dung. Vấn đề cần chứng minh là nếu B là một complex chiều n và với mỗi n-cell của B ta khoét đi một điểm trong thì phần còn lại sẽ deform được về (n-1)-skeleton của B.

Đặt B là một bó (wedge) của hai đường tròn S^1, tức là B giống như hình số 8. Giao điểm duy nhất của hai đường tròn được ký hiệu là *. B là một 1-complex, gồm có: một 0-cell, cũng chính là điểm cơ sở *; và hai 1-cells, tức là hai đoạn [0,1] bị uốn cong sao cho hai đầu 0,1 được gắn vào * để thành hai đường tròn.

Vậy cấu trúc xương (skeletons) của B là: B^1 = B, B^0 = *.

Bây giờ với mỗi 1-cell chọn ra một điểm trong. Trong trường hợp này điểm trong nghĩa là điểm trên đường tròn mà không trùng với *.

Nếu bỏ hai điểm trong này đi thì phần còn lại giống như hai cái xương cọ bắt chéo (không có biên), hoặc giống như hình chữ X.

Tưởng tượng xương bị rút ngắn dần, hình chữ X bị co rút lại đến khi chỉ còn điểm cơ sở *, tức là B^0. Vậy sau khi loại bỏ hai điểm trong đi thì phần còn lại co rút được về B^n-1 (B^0).

------------------------------
Bạn viết cohomology theory của BU(n) nên tôi không hiểu. Thông thường thì khi người ta nói cohomology theory của một kg X nào đó thì có nghĩa là cohomology theory tương ứng với cái suspension spectrum của X. Mà với X=BU(n) thì tôi không nghĩ rằng nó là oriented, ít nhất là với n>2.

Xin lỗi vì bắt bẻ từng chữ nhưng đây là dđ toán nên việc bắt bẻ được admins khuyến khích http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/beat.gif .

------------------------------
Tóm lại thì bây giờ tôi không hiểu bạn muốn hỏi gì. Bạn viết là

Tuy nhiên lập luận cho rằng từ Spliting principle suy ra việc split X thành các Line bundle thì không hiểu...

Tôi chỉ ra rằng Splitting principle KHÔNG suy ra việc split X (mà là X' với một map of bundles X' ->X).

Nếu điều này bạn biết rồi thì bạn còn ngạc nhiên và muốn hỏi điều gì nữa?

#16 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 06-01-2005 - 15:38

ô` cam´ on bân vê câi´ Đeeeformation reeestract nhê´ . Phân` khac´ con` phai trânh câi nhiêu` .

#17 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 06-01-2005 - 18:18

Đúng thế cái bundle mà tớ đã đưa dùng để tính Cohomology ring của BU(n), tất nhiên còn kết hợp cả euler-classes và cái bundle mà bạn đưa ra.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh