Chủ đề này có 1 trả lời

[nam8298]

cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c =3.CMR $8(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+9\geq 10(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

[KietLW9]

Giả sử a = max{a,b,c} thì $1\leqslant a<3$

Ta cần chứng minh: $8(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+42(a+b+c)-117\geqslant 10(a^2+b^2+c^2)$ 

$\Leftrightarrow (-10b^2+42b+\frac{8}{b}-\frac{69}{2})+(-10c^2+42c+\frac{8}{c}-\frac{69}{2})\geqslant 10a^2-42a-\frac{8}{a}+48$

$\Leftrightarrow \frac{(2b-1)^2(16-5b)}{b}+\frac{(2c-1)^2(16-5c)}{c}\geqslant \frac{(a-2)^2( 20a-4)}{a} $

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: $\frac{(2b-1)^2(16-5b)}{b}+\frac{(2c-1)^2(16-5c)}{c}=\frac{(2b-1)^2}{\frac{b}{16-5b}}+\frac{(2c-1)^2}{\frac{c}{16-5c}}\geqslant \frac{(2b+2c-2)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c} }=\frac{4(a-2)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}$

Đến đây, ta cần chỉ ra: $\frac{4(a-2)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}\geqslant \frac{(a-2)^2( 20a-4)}{a} $ hay $\frac{(a-2)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}\geqslant \frac{(a-2)^2( 5a-1)}{a}$

Do $a\geqslant b, a\geqslant c$ nên $\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}\leqslant \frac{b}{16-5a}+\frac{c}{16-5a}=\frac{3-a}{16-5a}$

Bây giờ ta cần có: $\frac{(a-2)^2(16-5a)}{3-a}\geqslant \frac{(a-2)^2(5a-1)}{a}\Leftrightarrow \frac{3(a-2)^2}{a(3-a)}\geqslant 0 $  (đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)\rightarrow (2,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 04-04-2021 - 13:52