Chủ đề này có 4 trả lời

[morningstar]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

Chứng minh rằng:

                   

              $\frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+3ab+c^{2}}}$$+\frac{b^{2}+bc+1}{\sqrt{b^{2}+3bc+a^{2}}}$$+\frac{c^{2}+ac+1}{\sqrt{c^{2}+3ac+b^{2}}}$ $\geq \sqrt{5}(a+b+c)$

[dodinhthang98]

Who Can?????????

[dodinhthang98]

chỉ có bước phân tích thôi chứ chưa có cách giải. mong moi nguoi góp ý nhé?

$a^2+ab+1=a^2+3ab+1+(a-b)^2\geq a^2+3ab+1$

chỉ cần chứng minh;

$\sum \sqrt{a^2+3ab+1}\geq \sqrt{5}\left ( a+b+c \right )$

nhưng tạm thời chưa chứng minh được! mong mọi người cùng góp ý nha!

[kfcchicken98]

có $\frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+3ab+c^{2}}}\geq \frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+ab+a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=\frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+ab+1}}=\sqrt{a^{2}+ab+1}$

có $\sqrt{a^{2}+ab+1}=\sqrt{\frac{3}{4}(a+b)^{2}+\frac{1}{4}(a-b)^{2}+a^{2}+c^{2}}\geq \sqrt{\frac{3}{4}(a+b)^{2}+a^{2}+c^{2}}\geq \sqrt{\frac{3}{4}(a+b)^{2}+\frac{(a+c)^{2}}{2}}$

áp dụng bđt minkowski, có $\sum (\sqrt{a^{2}+ab+1})\geq \sqrt{3(a+b+c)^{2}+2(a+b+c)^{2}}=\sqrt{5}(a+b+c)$

[morningstar]

Cách giải của tác giả là đi từ bất đẳng thức sau:

               $(x-y)^{2}\geq 0$

               $\Leftrightarrow x^{2}\geq 2xy+y^{2}$

               $\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y}\geq 2x-y$

Áp dụng ta có: 

               $\frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+3ab+c^{2}}}\geq 2\sqrt{a^{2}+ab+1}-\sqrt{a^{2}+3ab+c^{2}}$

Các bạn giải tiếp nhé!