Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình 2013-2014 lần 2

câu bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 morningstar

morningstar

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Kim Sơn A- Ninh Bình

Đã gửi 06-01-2014 - 00:31

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

Chứng minh rằng:

                   

              $\frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+3ab+c^{2}}}$$+\frac{b^{2}+bc+1}{\sqrt{b^{2}+3bc+a^{2}}}$$+\frac{c^{2}+ac+1}{\sqrt{c^{2}+3ac+b^{2}}}$ $\geq \sqrt{5}(a+b+c)$



#2 dodinhthang98

dodinhthang98

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:Toán, Lí, Hóa

Đã gửi 06-01-2014 - 12:44

Who Can?????????



#3 dodinhthang98

dodinhthang98

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:Toán, Lí, Hóa

Đã gửi 06-01-2014 - 12:49

chỉ có bước phân tích thôi chứ chưa có cách giải. mong moi nguoi góp ý nhé?

$a^2+ab+1=a^2+3ab+1+(a-b)^2\geq a^2+3ab+1$

chỉ cần chứng minh;

$\sum \sqrt{a^2+3ab+1}\geq \sqrt{5}\left ( a+b+c \right )$

nhưng tạm thời chưa chứng minh được! mong mọi người cùng góp ý nha!



#4 kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-01-2014 - 13:10

có $\frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+3ab+c^{2}}}\geq \frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+ab+a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=\frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+ab+1}}=\sqrt{a^{2}+ab+1}$

có $\sqrt{a^{2}+ab+1}=\sqrt{\frac{3}{4}(a+b)^{2}+\frac{1}{4}(a-b)^{2}+a^{2}+c^{2}}\geq \sqrt{\frac{3}{4}(a+b)^{2}+a^{2}+c^{2}}\geq \sqrt{\frac{3}{4}(a+b)^{2}+\frac{(a+c)^{2}}{2}}$

áp dụng bđt minkowski, có $\sum (\sqrt{a^{2}+ab+1})\geq \sqrt{3(a+b+c)^{2}+2(a+b+c)^{2}}=\sqrt{5}(a+b+c)$



#5 morningstar

morningstar

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Kim Sơn A- Ninh Bình

Đã gửi 06-01-2014 - 13:34

Cách giải của tác giả là đi từ bất đẳng thức sau:

               $(x-y)^{2}\geq 0$

               $\Leftrightarrow x^{2}\geq 2xy+y^{2}$

               $\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y}\geq 2x-y$

Áp dụng ta có: 

               $\frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+3ab+c^{2}}}\geq 2\sqrt{a^{2}+ab+1}-\sqrt{a^{2}+3ab+c^{2}}$

Các bạn giải tiếp nhé!






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh