Chủ đề này có 5 trả lời

[deptrai9803]

Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=3$ . Tìm GTNN $P=\frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{1+a^2}}$

[leduylinh1998]

Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=3$ . Tìm GTNN $P=\frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{1+a^2}}$

Chỗ này là 2 hay 3 vậy bạn

[leduylinh1998]

Nếu là 3 thì mình xin trình bày cách này. Mọi người góp ý thêm nhé.

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

$\Rightarrow a+b+c\geq 3;\sum ab\sqrt{ab}\geq 3$    (Vì abc=1)

$P^{2}=\left ( \sum \frac{a^{3}}{\sqrt{1+b^{2}}} \right )^{2}\geq3.\sum \frac{a^{3}b^{3}}{\sqrt{(1+b^{2})(1+c^{2})}}$

$\geq6.\sum \frac{a^{3}b^{3}}{2+b^{2}+c^{2}}=6.\sum \frac{a^{3}b^{3}}{5-a^{2}}= 6.\sum \frac{a^{3}b^{3}}{6-(1+a^{2})}$

$\geq 6.\sum \frac{a^{3}b^{3}}{6-2a}=3.\sum \frac{a^{3}b^{3}}{3-a}\geq 3.\frac{\left ( \sum ab\sqrt{ab} \right )^{2}}{9-\sum a}$

$\geq 3.\frac{9}{9-3}=\frac{9}{2}$

$\Rightarrow P\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leduylinh1998: 07-01-2014 - 00:14

[25 minutes]

Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=3$ . Tìm GTNN $P=\frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{1+a^2}}$

Áp dụng BĐT Holder ta có ngay

           $P^2.(1+b^2+1+c^2+1+a^2)\geqslant (a^2+b^2+c^2)^3$

Thay $a^2+b^2+c^2=3$ vào ta có $P\geqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

 

Ta  có: Từ abc=1

Chỗ này là sao ?

[leduylinh1998]

Xin lỗi mình học văn hơi kém. Đã fix

[hoctrocuanewton]

ta có

$\sum \frac{a^{3}}{\sqrt{1+b^{2}}}=\sum \frac{2\sqrt{2}a^{4}}{2\sqrt{2}a\sqrt{1+b^{2}}}\geq \sum \frac{2\sqrt{2}a^{4}}{2a^{2}+b^{2}+1}$

áp dụng bđt schwars  và áp dụng đk của đề bài ta có

$\sum \frac{2\sqrt{2}a^{4}}{2a^{2}+b^{2}+1}\geq \frac{2\sqrt{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}= \frac{2\sqrt{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 07-01-2014 - 11:37