Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa $\left\{\begin{matrix}a^2+b^2=4\\c+d=4\end{matrix}\right.$
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $p=ac+bd+cd$
Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa $\left\{\begin{matrix}a^2+b^2=4\\c+d=4\end{matrix}\right.$
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $p=ac+bd+cd$
Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa $\left\{\begin{matrix}a^2+b^2=4\\c+d=4\end{matrix}\right.$
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $p=ac+bd+cd$
Trước hết ta có $cd\leqslant \frac{(c+d)^2}{4}=4$
Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có
$P\leqslant \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+cd=\sqrt{4\left [ (c+d)^2-2cd \right ]}+cd=\sqrt{64-8cd}+cd$
Đặt $t=cd \leqslant 4$ $\Rightarrow P\leqslant f(t)=\sqrt{64-8t}+t$
$\Rightarrow f'(t)=1-\frac{4}{\sqrt{64-8t}}=0\Leftrightarrow t=6$
Lập bảng biến thiên của $f(t)$ ta được $f(t) \leqslant f(4)$
$\Rightarrow f(t)\leqslant f(4)=4+4\sqrt{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=4\\c+d=4 \\cd=4 \\\frac{a}{c}=\frac{b}{d} \end{matrix}\right.$
Trước hết ta có $cd\leqslant \frac{(c+d)^2}{4}=4$
Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có
$P\leqslant \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+cd=\sqrt{4\left [ (c+d)^2-2cd \right ]}+cd=\sqrt{64-8cd}+cd$
Đặt $t=cd \leqslant 4$ $\Rightarrow P\leqslant f(t)=\sqrt{64-8t}+t$
$\Rightarrow f'(t)=1-\frac{4}{\sqrt{64-8t}}=0\Leftrightarrow t=6$
Lập bảng biến thiên của $f(t)$ ta được $f(t) \leqslant f(4)$
$\Rightarrow f(t)\leqslant f(4)=4+4\sqrt{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=4\\c+d=4 \\cd=4 \\\frac{a}{c}=\frac{b}{d} \end{matrix}\right.$
a ơi nhưng mà nó cho số thực thôi mà không dương sao dùng cauchuy
a ơi nhưng mà nó cho số thực thôi mà không dương sao dùng cauchuy
BĐT Cauchy-Schwarzt hay còn gọi là BĐT Bunhyacopsky.
$P\leq |ac+bd|+cd\leq \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+cd$
Chỗ xét dấu "=" xảy ra bạn Toc Ngan chưa xét $c=0$ hoặc $d=0$ vì $c,d$ là số thực mà
Trước hết ta có $cd\leqslant \frac{(c+d)^2}{4}=4$
Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có
$P\leqslant \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+cd=\sqrt{4\left [ (c+d)^2-2cd \right ]}+cd=\sqrt{64-8cd}+cd$
Đặt $t=cd \leqslant 4$ $\Rightarrow P\leqslant f(t)=\sqrt{64-8t}+t$
$\Rightarrow f'(t)=1-\frac{4}{\sqrt{64-8t}}=0\Leftrightarrow t=6$
Lập bảng biến thiên của $f(t)$ ta được $f(t) \leqslant f(4)$
$\Rightarrow f(t)\leqslant f(4)=4+4\sqrt{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=4\\c+d=4 \\cd=4 \\\frac{a}{c}=\frac{b}{d} \end{matrix}\right.$
ý e hỏi là chỗ e tô đỏ ấy chỉ cho số thực thì làm s sử dụng Cauchy cho hai số dương
ý e hỏi là chỗ e tô đỏ ấy chỉ cho số thực thì làm s sử dụng Cauchy cho hai số dương
Đó là biến đổi 1 hằng đẳng thức:
$cd\leq \frac{(c+d)^2}{4}\Leftrightarrow 4cd\leq c^2+d^2+2cd\Leftrightarrow 0\leq (c-d)^2$
Hoặc sử dụng Cauchy như thế này:
$cd\leq |c|.|d|\leq \frac{(c+d)^2}{4}$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh