Chủ đề này có 5 trả lời

[baonhikt96]

Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa $\left\{\begin{matrix}a^2+b^2=4\\c+d=4\end{matrix}\right.$

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $p=ac+bd+cd$

[25 minutes]

Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa $\left\{\begin{matrix}a^2+b^2=4\\c+d=4\end{matrix}\right.$

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $p=ac+bd+cd$

Trước hết ta có $cd\leqslant \frac{(c+d)^2}{4}=4$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

            $P\leqslant \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+cd=\sqrt{4\left [ (c+d)^2-2cd \right ]}+cd=\sqrt{64-8cd}+cd$

Đặt $t=cd \leqslant 4$ $\Rightarrow P\leqslant f(t)=\sqrt{64-8t}+t$

$\Rightarrow f'(t)=1-\frac{4}{\sqrt{64-8t}}=0\Leftrightarrow t=6$

Lập bảng biến thiên của $f(t)$ ta được $f(t) \leqslant f(4)$

 $\Rightarrow f(t)\leqslant f(4)=4+4\sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=4\\c+d=4 \\cd=4 \\\frac{a}{c}=\frac{b}{d} \end{matrix}\right.$

[baonhikt96]

Trước hết ta có $cd\leqslant \frac{(c+d)^2}{4}=4$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

            $P\leqslant \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+cd=\sqrt{4\left [ (c+d)^2-2cd \right ]}+cd=\sqrt{64-8cd}+cd$

Đặt $t=cd \leqslant 4$ $\Rightarrow P\leqslant f(t)=\sqrt{64-8t}+t$

$\Rightarrow f'(t)=1-\frac{4}{\sqrt{64-8t}}=0\Leftrightarrow t=6$

Lập bảng biến thiên của $f(t)$ ta được $f(t) \leqslant f(4)$

 $\Rightarrow f(t)\leqslant f(4)=4+4\sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=4\\c+d=4 \\cd=4 \\\frac{a}{c}=\frac{b}{d} \end{matrix}\right.$

a ơi nhưng mà nó cho số thực thôi mà không dương sao dùng cauchuy

[Primary]

a ơi nhưng mà nó cho số thực thôi mà không dương sao dùng cauchuy

 

BĐT Cauchy-Schwarzt hay còn gọi là BĐT Bunhyacopsky. 

 

$P\leq |ac+bd|+cd\leq \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+cd$

 

Chỗ xét dấu "=" xảy ra bạn Toc Ngan chưa xét $c=0$ hoặc $d=0$ vì $c,d$ là số thực mà

 

[baonhikt96]

Trước hết ta có $cd\leqslant \frac{(c+d)^2}{4}=4$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

            $P\leqslant \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+cd=\sqrt{4\left [ (c+d)^2-2cd \right ]}+cd=\sqrt{64-8cd}+cd$

Đặt $t=cd \leqslant 4$ $\Rightarrow P\leqslant f(t)=\sqrt{64-8t}+t$

$\Rightarrow f'(t)=1-\frac{4}{\sqrt{64-8t}}=0\Leftrightarrow t=6$

Lập bảng biến thiên của $f(t)$ ta được $f(t) \leqslant f(4)$

 $\Rightarrow f(t)\leqslant f(4)=4+4\sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=4\\c+d=4 \\cd=4 \\\frac{a}{c}=\frac{b}{d} \end{matrix}\right.$

ý e hỏi là chỗ e tô đỏ ấy chỉ cho số thực thì làm s sử dụng Cauchy cho hai số dương

[Primary]

ý e hỏi là chỗ e tô đỏ ấy chỉ cho số thực thì làm s sử dụng Cauchy cho hai số dương

Đó là biến đổi 1 hằng đẳng thức:

 

$cd\leq \frac{(c+d)^2}{4}\Leftrightarrow 4cd\leq c^2+d^2+2cd\Leftrightarrow 0\leq (c-d)^2$

 

Hoặc sử dụng Cauchy như thế này:

 

$cd\leq |c|.|d|\leq \frac{(c+d)^2}{4}$