Đến nội dung

Hình ảnh

Xét sự hội tụ của chuỗi $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
Rantaro

Rantaro

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết

Xét sự hội tụ của chuỗi $\sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n\ln n}$



#2
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết

Ta có sự hội tụ của chuỗi trên tương đương với sự hội tụ của $\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{\ln 2^k}$ mà chuỗi này phân kì nên chuỗi đề bài cho phân kì.



#3
Rantaro

Rantaro

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết

Ta có sự hội tụ của chuỗi trên tương đương với sự hội tụ của $\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{\ln 2^k}$ mà chuỗi này phân kì nên chuỗi đề bài cho phân kì.

Bạn giải thích cụ thể hơn được không? 

 

Mình xét giới hạn của tỉ số $\lim_{n \to \infty} \dfrac{\frac{1}{n\ln n}}{\frac{1}{ln 2^n}}=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\ln 2}{\ln n}=0$, vậy thì việc $\sum \dfrac{1}{\ln 2^n}$ phân kì không kết được sự phân kì của chuỗi ban đầu :(



#4
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Xét sự hội tụ của chuỗi $\sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n\ln n}$

Hàm số $f(x)=\frac{1}{xlnx}$ với $x\geq 2$ , hiển nhiên hàm dương , giảm đơn điệu khi $x$ tăng , do đó xét tích phân của chuỗi là 

                                                              $\int_{1}^{\infty }\frac{dx}{xlnx}$

Tích phân phân kỳ do không khả tích trong khoảng này , do đó chuỗi đã cho phân kỳ .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 09-01-2014 - 20:21

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#5
Rantaro

Rantaro

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết

Hàm số $f(x)=\frac{1}{xlnx}$ với $x\geq 2$ , hiển nhiên hàm dương , giảm đơn điệu khi $x$ tăng , do đó xét tích phân của chuỗi là 

                                                              $\int_{1}^{\infty }\frac{dx}{xlnx}$

Tích phân phân kỳ do không khả tích trong khoảng này , do đó chuỗi đã cho phân kỳ .

Cám ơn bạn. Cho mình hỏi là chứng minh tích phân trên không khả tích như thế nào vậy :)



#6
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Cám ơn bạn. Cho mình hỏi là chứng minh tích phân trên không khả tích như thế nào vậy :)

Lấy $x=1$ thì $ln1=0$ ở mẫu không được , nếu không lấy nguyên hàm thì được cái vế sau là $ln(ln1)$ không tồn tại 


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#7
Rantaro

Rantaro

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết

Đơn giản thế mà mình không nghĩ ra, cám ơn bạn nhiều :D



#8
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết

Bạn giải thích cụ thể hơn được không? 

 

Mình xét giới hạn của tỉ số $\lim_{n \to \infty} \dfrac{\frac{1}{n\ln n}}{\frac{1}{ln 2^n}}=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\ln 2}{\ln n}=0$, vậy thì việc $\sum \dfrac{1}{\ln 2^n}$ phân kì không kết được sự phân kì của chuỗi ban đầu :(

Mình xét theo tiêu chuẩn tụ Cauchy ấy bạn, sự phân kì của chuỗi $\sum a_n$ tương đương với sự hội tụ chuỗi $\sum 2^ka_{2^k}$



#9
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

Ta có sự hội tụ của chuỗi trên tương đương với sự hội tụ của $\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{\ln 2^k}$ mà chuỗi này phân kì nên chuỗi đề bài cho phân kì.

 

Hình như anh đang dùng "Cauchy consider test" (Em không biết dịch)

 

$\sum_{n=1}^{\infty} f(n)\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} 2^nf(2^n)$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#10
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết

Ừm, Cauchy condensation test, là tiêu chuẩn đó đấy bạn.

 

Hình như anh đang dùng "Cauchy consider test" (Em không biết dịch)

 

$\sum_{n=1}^{\infty} f(n)\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} 2^nf(2^n)$



#11
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

http://www.math.mont...Su13/Cauchy.pdf

Chính nó .


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#12
Dahitotn94

Dahitotn94

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết

Chắc các bạn cũng biết tiêu chuẩn so sánh này:

Cho $\sum a_{n}$ và $\sum b_{n}$ là các chuỗi dương và $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=k$

Nếu $k=0$, $\sum b_{n}$ hội tụ thì $\sum a_{n}$ hội tụ

Nếu $k=+\infty$, $\sum b_{n}$ phân kì thì $\sum a_{n}$ phân kì

Nếu $0\leq k\leq+\infty$ thì $\sum a_{n}$ $\sum b_{n}$ cùng hội tụ hoặc phân kì

 

Đối với bài này thì ta chọn $\sum b_{n}=\sum \frac{1}{n}$

 

Khi đó ta có: $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{1}{nlnn}}{\frac{1}{n}}=lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{lnn}=0$

 

 mà $\sum\frac{1}{n}$ phân kì nên $\sum\frac{1}{nlnn}$ phân kì


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dahitotn94: 17-02-2014 - 23:00

  e83646c2a8554e8db1701fd298162401.0.gifTrong toán học, nghệ thuật nêu vấn đề có giá trị hơn việc giải quyết vấn đề. ( GEORG CANTOR )





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh