Cho a, b, c > 0. CMR: $\frac{1}{a\sqrt{a+b}}+\frac{1}{b\sqrt{b+c}}+\frac{1}{c\sqrt{c+a}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$
CMR: $\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$
Bắt đầu bởi Ngoc Hung, 09-01-2014 - 00:35
#1
Đã gửi 09-01-2014 - 00:35
Ngoc Hung
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1547 Bài viết
Đại úy
#2
Đã gửi 13-04-2021 - 12:09
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\sqrt{\frac{2bc}{a(a+b)}}+\sqrt{\frac{2ca}{b(b+c)}}+\sqrt{\frac{2ab}{c(c+a)}}\geqslant 3$
Áp dụng Cauchy, ta có: $\sqrt{\frac{a(a+b)}{2bc}}\leqslant \frac{1}{2}(\frac{a+b}{2b}+\frac{a}{c})=\frac{2ab+bc+ca}{4bc}\Rightarrow \sqrt{\frac{2bc}{a(a+b)}}\geqslant \frac{4bc}{2ab+bc+ca}$
Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sqrt{\frac{2bc}{a(a+b)}}+\sqrt{\frac{2ca}{b(b+c)}}+\sqrt{\frac{2ab}{c(c+a)}}\geqslant \frac{4bc}{2ab+bc+ca}+\frac{4ca}{2bc+ca+ab}+\frac{4ab}{2ca+ab+bc}=\sum_{cyc}\frac{4(bc)^2}{2ab.bc+(bc)^2+ca.bc}\geqslant \frac{4(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2+ab.bc+bc.ca+ca.ab}\geqslant \frac{4(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2+\frac{(ab+bc+ca)^2}{3}}=3(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
