Chủ đề này có 2 trả lời

[thanhduc991010]

CMR $\sum \frac{a}{b}\geqslant \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhduc991010: 09-01-2014 - 10:56

[VNSTaipro]

CMR $\sum \frac{a}{b}\geqslant \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

BDT $\Leftrightarrow (\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c})+(\frac{b}{c}-\frac{b}{b+c})+(\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b})\geq \frac{b}{a+b}+1$

$\Leftrightarrow \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{b^2}{c(b+c)}+\frac{bc}{a(a+b)}\geq \frac{a+2b}{a+b}$

$VT= \frac{1}{b+c}(\frac{ac}{b}+\frac{b^2}{c})+\frac{bc}{a(a+b)}$

Mà $(\frac{ac}{b}+\frac{b^2}{c})(abc+a^2c)\geq (ac+ab)^{2}$

$\Rightarrow (\frac{ac}{b}+\frac{b^2}{c})\geq \frac{a^2(b+c)^2}{ac(a+b)}$

$\Rightarrow VT\geq \frac{a(b+c)}{c(a+b)}+\frac{bc}{a(a+b)}\geq \frac{a+2b}{a+b}$

$\Leftrightarrow \frac{a(b+c)}{c}+\frac{bc}{a}\geq a+2b$

$\Leftrightarrow a^2b+bc^2\geq 2abc$ (Đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VNSTaipro: 24-01-2014 - 20:54

[KietLW9]

Nhân hai vế của bất đẳng thức với b + c, ta được: $\frac{a(b+c)}{b}+\frac{b(b+c)}{c}+\frac{c(b+c)}{a}\geqslant a+b+\frac{(b+c)^2}{a+b}+b+c$

$\Leftrightarrow \frac{ac}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{c^2}{a}\geqslant b+c+\frac{(b+c)^2}{a+b}$

Điều này đúng do: $\frac{c^2}{a}+\frac{b^2}{b}\geqslant\frac{(b+c)^2}{a+b}$

$\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geqslant 2c$

$\frac{b^2}{c}+c \geqslant 2b$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c