Tìm tất cả các cặp $(n,m)$ nguyên dương , $m\neq n$ thỏa $\sqrt[n]{n}=\sqrt[m]{m}$.
#1
Đã gửi 09-01-2014 - 17:35
- LNH yêu thích
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 10-01-2014 - 00:04
Tìm tất cả các cặp $(n,m)$ nguyên dương , $m\neq n$ thỏa $\sqrt[n]{n}=\sqrt[m]{m}$.
Không mất tính tổng quát, giả sử $m>n$
Khi đó bài toán sẽ tương đương với $m^n=n^m$
$\Leftrightarrow m^m-n^m=m^n\left ( m^{m-n}-1 \right )$
Ta có nếu $m$ có ước $p$ nguyên tố thì $n$ cũng có ước $p$ nguyên tố
Gọi $p$ là ước nguyên tố lẻ của $m$ và $n$
Khi đó, theo LTE thì:
$v_p\left ( m-n \right )+v_p\left ( m \right )=nv_p\left ( m \right )$
$\Leftrightarrow v_p\left ( m-n \right )=\left ( n-1 \right )v_p\left ( m \right )$
Giả sử $v_p\left ( m \right ) \neq v_p\left ( n \right )$
Từ đây xét 2 TH:
TH1: $v_p\left ( m \right ) > v_p\left ( n \right )$
Suy ra $v_p\left ( n \right )=\left ( n-1 \right )v_p\left ( m \right )\geq n-1$ (vô lí)
TH2: $v_p\left ( m \right ) < v_p\left ( n \right )$
Suy ra $n=2$
Mà $2$ không có ước nguyên tố lẻ nên không thoả mãn
Vậy $v_p\left ( m \right )=v_p\left ( n \right )$
Mà $m^n=n^m$ nên suy ra $nv_p\left ( m \right )=mv_p\left ( n \right )$ (vô lí vì $m \neq n$)
Vậy $m$ và $n$ không có ước nguyên tố lẻ
Đặt $m=2^a$ và $n=2^b$
Từ đây suy ra $a2^b=b2^a$
$\frac{a}{b}=2^{a-b}$
Đặt $\frac{a}{b}=2^s$ thì ta có:
$s=a-b$
$\Leftrightarrow s=b\left ( 2^s-1 \right )$
$\Leftrightarrow s=b\left ( 2^s-1 \right )\geq 2^s-1$
Mặt khác, $\Leftrightarrow s \leq 2^s-1$
Vậy $s$ chỉ có thể là $1$
Suy ra $b=1$ và $a=2$ hay $m=4$ và $n=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 10-01-2014 - 12:32
- Zaraki, namcpnh và ducthinh26032011 thích
#3
Đã gửi 10-01-2014 - 10:30
Không kinh khủng thế đâu em. Để anh kiểm lại cách giải của anh rồi sẽ gửi lên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 10-01-2014 - 20:43
- LNH yêu thích
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#4
Đã gửi 10-01-2014 - 17:01
Cách của anh thì đơn giản thế này :Giả sử $m>n$
Giả sử $n=1$ => $m=1$ => vô lí
PT <=> $\frac{1}{n}lnn=\frac{1}{m}lnm$
<=> $m=\frac{n.lnm}{lnn}$(*)
Vì $m,n$ là các số tự nhiên nên $lnn$ và $lnm$ là các số vô tỉ.
Từ đó ta có $m\in \mathbb{N}=>\frac{lnm}{lnn}=k>1\in \mathbb{Q}$
Hay $lnm=klnn=lnn^k$
=> $m=n^k$
Thay vào ta có $n^{k-1}=k$
Với $n=2$ ta có : $2^{k-1}=k$ từ đó dễ thấy $k=1$ hoặc $k=2$ => $k=2$ => $m=4$
Với $n\geq 3$ ta xét hàm $f(k)=n^{k-1}-k,k\geq 1$
=> $f'(k)=n^{k-1}lnn-1>0,k\geq 1,n\geq 3$
=> $f(k)>f(1)=0$ => PT vô nghiệm.
Vậy PT đã cho có nghiệm $(4,2)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 29-07-2016 - 04:02
- Tran Hoai Nghia, LNH và nhungvienkimcuong thích
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#5
Đã gửi 10-01-2014 - 21:06
Gọi $gcd(m;n)=d$, $m=da,n=db$ với $(a;b)=1$, phương trình trở thành
$$(da)^{db}=(db)^{da}$$
Không mất tính tổng quát giả sử $a>b$, đẳng thức trên tương đương :
$$a^{b}=b^{a}.d^{a-b}$$
Từ đây suy ra $a^{b}\vdots b^{a}$ nhưng do $(a;b)=1$ nên $b=1$. Vậy $a=d^{a-1}$.
Nếu $d=1$ dễ thấy $a=b=1$ vô lí.
Nếu $d\geq 2\rightarrow a\geq 2$ áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có :
$$d^{a-1}=(d-1+1)^{a-1}\geq 1+(d-1)(a-1)\geq 1+a-1=a$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a-1=1, d-1=1$ hay $a=2,d=2$ thay vào ban đầu ta có $m=4,n=2$
Vậy $(m;n)=(4;2)$ $\square$
========
Bài toán tương tự :
Tìm các số hữu tỉ $m;n$ thỏa mãn $m^n=n^m$
- Zaraki, Tran Hoai Nghia và LNH thích
#6
Đã gửi 10-01-2014 - 22:08
Một bài tương tự : Tìm $m,n$ nguyên dương thỏa $$m^{n^m}=n^{m^n}$$
- Tran Hoai Nghia và LNH thích
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
#7
Đã gửi 11-01-2014 - 12:14
Cho mình hỏi tí, mấy bạn có thể chỉ mình các bài toán này thuộc dạng gì và cách giải chung của chúng ra sao cho mình học hỏi, thanks.
P/s: các bài viết rất hay.
SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA
https://www.facebook...toanchuyenkhao/
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vui
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $\sum \frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}$Bắt đầu bởi Phuong Thu Quoc, 16-01-2014 nam, a13, 11, vui, tết |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Tìm công thức tổng quát của dãy $\left ( y_{n} \right )$ xác định bởi $y_{n}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}.2^{i}$Bắt đầu bởi Phuong Thu Quoc, 22-12-2013 việt nam, vô địch, học kì, sắp và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$n(n+1)(2n+1)\vdots 42$Bắt đầu bởi namcpnh, 11-11-2013 vui |
|
|||
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Quán xá →
Quán hài hước →
Ai bảo trên đời không có ngày 31-02?Bắt đầu bởi namcpnh, 16-03-2013 vui |
|
|||
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Quán xá →
Câu lạc bộ hâm mộ →
Anh em nhà Da SilvaBắt đầu bởi luuxuan9x, 01-03-2013 vui |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh