Đến nội dung

Hình ảnh

$\sqrt[n]{n}=\sqrt[m]{m}$

- - - - - vui

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Tìm tất cả các cặp $(n,m)$ nguyên dương , $m\neq n$ thỏa $\sqrt[n]{n}=\sqrt[m]{m}$.


  • LNH yêu thích

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết


Tìm tất cả các cặp $(n,m)$ nguyên dương , $m\neq n$ thỏa $\sqrt[n]{n}=\sqrt[m]{m}$.

 

Không mất tính tổng quát, giả sử $m>n$

 

Khi đó bài toán sẽ tương đương với $m^n=n^m$

$\Leftrightarrow m^m-n^m=m^n\left ( m^{m-n}-1 \right )$

Ta có nếu $m$ có ước $p$ nguyên tố thì $n$ cũng có ước $p$ nguyên tố

Gọi $p$ là ước nguyên tố lẻ của $m$ và $n$

Khi đó, theo LTE thì:

$v_p\left ( m-n \right )+v_p\left ( m \right )=nv_p\left ( m \right )$

$\Leftrightarrow v_p\left ( m-n \right )=\left ( n-1 \right )v_p\left ( m \right )$

Giả sử $v_p\left ( m \right ) \neq v_p\left ( n \right )$

Từ đây xét 2 TH:

TH1: $v_p\left ( m \right ) > v_p\left ( n \right )$

Suy ra $v_p\left ( n \right )=\left ( n-1 \right )v_p\left ( m \right )\geq n-1$ (vô lí)

TH2: $v_p\left ( m \right ) < v_p\left ( n \right )$

Suy ra $n=2$

Mà $2$ không có ước nguyên tố lẻ nên không thoả mãn

Vậy $v_p\left ( m \right )=v_p\left ( n \right )$

Mà $m^n=n^m$ nên suy ra $nv_p\left ( m \right )=mv_p\left ( n \right )$ (vô lí vì $m \neq n$)

Vậy $m$ và $n$ không có ước nguyên tố lẻ

Đặt $m=2^a$ và $n=2^b$

Từ đây suy ra $a2^b=b2^a$

$\frac{a}{b}=2^{a-b}$

Đặt $\frac{a}{b}=2^s$ thì ta có:

$s=a-b$

$\Leftrightarrow s=b\left ( 2^s-1 \right )$

$\Leftrightarrow s=b\left ( 2^s-1 \right )\geq 2^s-1$

Mặt khác, $\Leftrightarrow s \leq 2^s-1$

Vậy $s$ chỉ có thể là $1$

Suy ra $b=1$ và $a=2$ hay $m=4$ và $n=2$ :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 10-01-2014 - 12:32


#3
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Không kinh khủng thế đâu em. Để anh kiểm lại cách giải của anh rồi sẽ gửi lên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 10-01-2014 - 20:43

  • LNH yêu thích

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#4
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Cách của anh thì đơn giản thế này :Giả sử $m>n$

Giả sử $n=1$ => $m=1$ => vô lí

PT <=> $\frac{1}{n}lnn=\frac{1}{m}lnm$

<=> $m=\frac{n.lnm}{lnn}$(*)

Vì $m,n$ là các số tự nhiên nên $lnn$ và $lnm$ là các số vô tỉ.

Từ đó ta có $m\in \mathbb{N}=>\frac{lnm}{lnn}=k>1\in \mathbb{Q}$

Hay $lnm=klnn=lnn^k$

=> $m=n^k$

Thay vào ta có $n^{k-1}=k$

Với $n=2$ ta có : $2^{k-1}=k$ từ đó dễ thấy $k=1$ hoặc $k=2$ => $k=2$ => $m=4$

Với $n\geq 3$ ta xét hàm $f(k)=n^{k-1}-k,k\geq 1$

=> $f'(k)=n^{k-1}lnn-1>0,k\geq 1,n\geq 3$

=> $f(k)>f(1)=0$ => PT vô nghiệm.

Vậy PT đã cho có nghiệm $(4,2)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 29-07-2016 - 04:02

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#5
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Gọi $gcd(m;n)=d$, $m=da,n=db$ với $(a;b)=1$, phương trình trở thành 

$$(da)^{db}=(db)^{da}$$

Không mất tính tổng quát giả sử $a>b$, đẳng thức trên tương đương :

$$a^{b}=b^{a}.d^{a-b}$$

Từ đây suy ra $a^{b}\vdots b^{a}$ nhưng do $(a;b)=1$ nên $b=1$. Vậy $a=d^{a-1}$.

Nếu $d=1$ dễ thấy $a=b=1$ vô lí.

Nếu $d\geq 2\rightarrow a\geq 2$ áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có :

$$d^{a-1}=(d-1+1)^{a-1}\geq 1+(d-1)(a-1)\geq 1+a-1=a$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a-1=1, d-1=1$ hay $a=2,d=2$ thay vào ban đầu ta có $m=4,n=2$

Vậy $(m;n)=(4;2)$ $\square$

========

Bài toán tương tự :

 

 

Tìm các số hữu tỉ $m;n$ thỏa mãn $m^n=n^m$


“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#6
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Một bài tương tự : Tìm $m,n$ nguyên dương thỏa $$m^{n^m}=n^{m^n}$$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#7
Tran Hoai Nghia

Tran Hoai Nghia

    UNEXPECTED PLEASURE.

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Cho mình hỏi tí, mấy bạn có thể chỉ mình các bài toán này thuộc dạng gì và cách giải chung của chúng ra sao cho mình học hỏi, thanks.

P/s: các bài viết rất hay.


SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
https://www.facebook...toanchuyenkhao/






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vui

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh