CMR: $abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$
CMR: $abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$
#1
Đã gửi 09-01-2014 - 21:45
#2
Đã gửi 09-01-2014 - 21:53
Áp dụng BĐT: $xy\leq (\frac{x+y}{2})^{2}$
Ta có $(a+b-c)(a-b+c)\leq (\frac{a+b-c+a-b+c}{2})^{2}= a^{2}$
Tương tự: $(a-b+c)(b+c-a)\leq (\frac{a-b+c+b+c-a}{2})^{2}= c^{2}$
$(b+c-a)(a+b-c)\leq (\frac{b+c-a+a+b-c}{2})^{2}= b^{2}$
Nhân từng vế ta được $((b+c-a)(a+b-c)(a-b+c))^{2}\leq (abc)^{2}$
$\Rightarrow (b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)\leq abc (đpcm)$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$
- hoangson2598 và hoang tu mua 98 thích
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
#3
Đã gửi 09-01-2014 - 21:55
CMR: $abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$
Ta có : $(x+y)(y+z)(x+z) \geq8xyz$
Đặt $x=\frac{a+b-c}{2},y=\frac{a-b+c}{2},z=\frac{b+c-a}{2}$
Từ đó sẽ suy ra $$abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$$
#4
Đã gửi 09-01-2014 - 22:44
Ta có : $(x+y)(y+z)(x+z) \geq8xyz$
Đặt $x=\frac{a+b-c}{2},y=\frac{a-b+c}{2},z=\frac{b+c-a}{2}$
Từ đó sẽ suy ra $$abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$$
Làm như thế này chắc gì x,y,z đã không âm???????????/ chưa chặt chẽ..........
- hoangson2598 yêu thích
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
#5
Đã gửi 09-01-2014 - 22:53
Ta có $a^2\geq a^2-(b-c)^2=(a-b+c)(a+b-c)$
$b^2\geq b^2-(c-a)^2=(b-c+a)(b+c-a)$
$c^2\geq c^2-(a-b)^2=(c-a+b)(c+a-b)$
Nhân 3 vế của 3BĐT trên ta có đ.f.c.m
- Near Ryuzaki yêu thích
#6
Đã gửi 10-01-2014 - 13:41
BĐT $< = > a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$(Luôn đúng do đây là bđt Schur bậc 3)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh