Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
zzhanamjchjzz

zzhanamjchjzz

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết

CMR:  $abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$



#2
phamquanglam

phamquanglam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

Áp dụng BĐT: $xy\leq (\frac{x+y}{2})^{2}$

Ta có $(a+b-c)(a-b+c)\leq (\frac{a+b-c+a-b+c}{2})^{2}= a^{2}$

Tương tự: $(a-b+c)(b+c-a)\leq (\frac{a-b+c+b+c-a}{2})^{2}= c^{2}$

             $(b+c-a)(a+b-c)\leq (\frac{b+c-a+a+b-c}{2})^{2}= b^{2}$

 Nhân từng vế ta được $((b+c-a)(a+b-c)(a-b+c))^{2}\leq (abc)^{2}$

$\Rightarrow (b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)\leq abc (đpcm)$

 Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$


:B) THPT PHÚC THÀNH K98  :B) 

 

Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày

Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay

 

Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/

My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc

:off:  :off:  :off:


#3
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

CMR:  $abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$

Ta có : $(x+y)(y+z)(x+z) \geq8xyz$

Đặt $x=\frac{a+b-c}{2},y=\frac{a-b+c}{2},z=\frac{b+c-a}{2}$

Từ đó sẽ suy ra $$abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$$



#4
phamquanglam

phamquanglam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

Ta có : $(x+y)(y+z)(x+z) \geq8xyz$

Đặt $x=\frac{a+b-c}{2},y=\frac{a-b+c}{2},z=\frac{b+c-a}{2}$

Từ đó sẽ suy ra $$abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$$

Làm như thế này chắc gì x,y,z đã không âm???????????/ chưa chặt chẽ..........


:B) THPT PHÚC THÀNH K98  :B) 

 

Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày

Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay

 

Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/

My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc

:off:  :off:  :off:


#5
laiducthang98

laiducthang98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết

Ta có $a^2\geq a^2-(b-c)^2=(a-b+c)(a+b-c)$

          $b^2\geq b^2-(c-a)^2=(b-c+a)(b+c-a)$

          $c^2\geq c^2-(a-b)^2=(c-a+b)(c+a-b)$ 

Nhân 3 vế của 3BĐT trên ta có đ.f.c.m 



#6
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

BĐT $< = > a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$(Luôn đúng do đây là bđt Schur bậc 3)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh