Chủ đề này có 7 trả lời

[Rikikudo1102]

bài 1: tìm nghiệm nguyên các pt sau

a) $x^3-2y^3-4z^3=0$

b) $8x^4+4y^4+2z^4=t^4$

c) $x^2+y^2+z^2=2xyz$

d) $x^2+y^2+z^2=x^2y^2$

 

e) $\left\{\begin{matrix}x^2+13y^2=z^2 & & \\ 13x^2+y^2=t^2 & & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Rikikudo1102: 10-01-2014 - 15:11

[Hoang Tung 126]

Câu 1: Do $x^3-2y^3-4z^3=0= > x^3\vdots 2= > x\vdots 2$

Đặt $x=2x_{1}$ .Do đó pt $< = > (2x_{1})^3-2y^3-4z^3=0< = > 4x_{1}^3-y^3-2z^3=0= > y^3\vdots 2= > y\vdots 2= > y=2y_{1}$

Do đó pt $< = > 4x_{1}^3-(2y_{1})^3-2z^3=0< = > 2x_{1}^3-4y_{1}^3-z^3=0= > z^3\vdots 2= > z\vdots 2= > z= 2z_{1}$

Do đó pt $< = > 2x_{1}^3-4y_{1}^3-(2z_{1})^3=0< = > x_{1}^3-2y_{1}^3-4z_{1}^3=0$

Lập luận tương tự cho bộ số $x_{2},y_{2},z_{2}...x_{n},y_{n},z_{n}$

 Do đó pt có nghiệm nguyên khi $x=y=z=0$

[Hoang Tung 126]

Câu 2: Ta có :$8x^4+4y^4+2z^4=t^4= > t^4\vdots 2= > t\vdots 2= > t=2t_{1}= > 8x^4+4y^4+2z^4=(2t_{1})^4< = > 4x^4+2y^4+z^4=8t_{1}^4= > z\vdots 2= > z=2z_{1}= > 4x^4+2y^4+(2z_{1})^4=8t_{1}^4< = > 2x^4+y^4+8z_{1}^4=4t_{1}^4= > y\vdots 2= > y=2y_{1}= > 2x^4+(2y_{1})^4+8z_{1}^4=4t_{1}^4< = > x^4+8y_{1}^4+4z_{1}^4=2t_{1}^4= > x\vdots 2= > x=2x_{1}= > 8x_{1}^4+4y_{1}^4+2z_{1}^4=t_{1}^4$

 Đây chính là pt của đề bài khi thay bộ số $(x,y,z,t)$ thành $(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1})$

Lập luận tương tự ta có các bộ số :$(x,y,z,t)=(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1})=(x_{2},y_{2},z_{2},t_{2})=...=(x_{n},y_{n},z_{n},t_{1})$

 Nhưng điều này xảy ra khi $x=y=z=t=0$

[Hoang Tung 126]

Câu 3: Ta có :$x^2+y^2+z^2=2xyz= > x^2+y^2+z^2\equiv 0(mod 2)$

 $= > x,y,z\equiv 0(mod 2)= > x=2x_{1},y=2y_{1},z=2z_{1}$

Do đó pt $< = > (2x_{1})^2+(2y_{1})^2+(2z_{1})^2=2.2x_{1}.2y_{1}.2z_{1}< = > x_{1}^2+y_{1}^2+z_{1}^2=2xyz< = > x=y=z=0$

[Phuong Thu Quoc]

Câu 3: Ta có :$x^2+y^2+z^2=2xyz= > x^2+y^2+z^2\equiv 0(mod 2)$

 $= > x,y,z\equiv 0(mod 2)= > x=2x_{1},y=2y_{1},z=2z_{1}$

Do đó pt $< = > (2x_{1})^2+(2y_{1})^2+(2z_{1})^2=2.2x_{1}.2y_{1}.2z_{1}< = > x_{1}^2+y_{1}^2+z_{1}^2=2xyz< = > x=y=z=0$

Đoạn suy luận này sai rồi..

[Phuong Thu Quoc]

c/ Có thể làm câu c như sau

Ta thấy $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ là số chẵn. Như vậy chỉ có các trường hợp sau xảy ra

TH1: Cả 3 số đều chẵn

Khi đó làm theo phương pháp như trên ta được bộ $\left ( 0,0,0 \right )$ là nghiệm

TH2: 2 số lẻ, 1 số chẵn

Không mất tính tổng quát , giả sử x,y lẻ

Khi đó $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ có dạng 4k+2 không chia hết cho 4 nhưng 2xyz lại chia hết cho 4 vô lí

Vậy ở trường hợp này phương trình vô nghiệm

KL: Phương trình có nghiệm $\left ( 0,0,0 \right )$ duy nhất...

[nhungvienkimcuong]

d) $x^2+y^2+z^2=x^2y^2$

nếu cả hai số $x,y$ lẻ thì $VT\equiv VP\equiv 1(mod\ 4)$

mặt khác $VT\equiv 2+z^2\equiv 2,3(mod \ 4)$

điều trên vô lí do đó $x$ chẵn hoặc $y$ chẵn $\Rightarrow x^2+y^2+z^2\equiv x^2y^2\equiv 0(mod 4)$

$\Rightarrow y^2+z^2\equiv 0(mod\ 4)\Rightarrow y,z$ chẵn

đặt $x=2x_1,y=2y_1,z=2z_1$ thì $x_1^2+y_1^2+z_1^2=4x_1^2y_1^2$

tương tự ta cũng có $x_1,y_1,z_1$ chẵn

do đó theo nguyên lí cực hạn thì $x=y=z=0$

 

e) $\left\{\begin{matrix}x^2+13y^2=z^2 & & \\ 13x^2+y^2=t^2 & & \end{matrix}\right.$

 

từ giả thiết ta có $z^2+t^2=14(x^2+y^2)\Rightarrow 7\mid z^2+t^2$

mà $7$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$ nên $7\mid z,t\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z=7z_1\\ t=7t_1 \end{matrix}\right.\Rightarrow 2(x^2+y^2)=7(z_1^2+t_1^2)\Rightarrow 7\mid x^2+y^2\Rightarrow 7\mid x,y\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=7x_1\\ y=7y_1 \end{matrix}\right.$

do đó theo nguyên lí cực hạn thì $x=y=z=t=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 02-05-2015 - 17:06

[Laxus]

c/ Có thể làm câu c như sau

Ta thấy $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ là số chẵn. Như vậy chỉ có các trường hợp sau xảy ra

TH1: Cả 3 số đều chẵn

Khi đó làm theo phương pháp như trên ta được bộ $\left ( 0,0,0 \right )$ là nghiệm

TH2: 2 số lẻ, 1 số chẵn

Không mất tính tổng quát , giả sử x,y lẻ

Khi đó $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ có dạng 4k+2 không chia hết cho 4 nhưng 2xyz lại chia hết cho 4 vô lí

Vậy ở trường hợp này phương trình vô nghiệm

KL: Phương trình có nghiệm $\left ( 0,0,0 \right )$ duy nhất...

nếu 2 số chẵn 1 số lẽ thì sao