Đến nội dung


Hình ảnh
* * * - - 5 Bình chọn

$\sum\left(\frac{2}{\sqrt{\frac{1+a^{2}}{2}}+\frac{2a}{1+a}}\right)^{1/3}\leq3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Bái
  • Sở thích:"Flower"

Đã gửi 10-01-2014 - 18:58

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$.

Chứng minh rằng:

$\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+a^{2}}{2}}+\frac{2a}{1+a}} \right )^{\frac{1}{3}}+\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+b^{2}}{2}}+\frac{2b}{1+b}} \right )^{\frac{1}{3}}+\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+c^{2}}{2}}+\frac{2c}{1+c}} \right )^{\frac{1}{3}}\leq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 10-01-2014 - 19:11


#2 nguyenkant

nguyenkant

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-10-2017 - 17:47

Bổ đề: [ Võ Quốc Bá Cẩn - Vasile Cirtoaje ]

Với $x,y,z$ dương và $xyz=1$ ta có:

$$  \sum \dfrac{1}{x^{2} +x+1} \geq 1$$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$$ \sum \left [ \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} \right ] \geq 1 $$

Ta có đánh giá sau: 

$$  \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}}  \geq \dfrac{1}{a^{\dfrac{1}{4} } +a^{\dfrac{1}{8}} +1  }$$

Theo bổ đề trên ta thu được điều phải chứng minh.

 

Đang đi uống cafe không biết tính toán hay có sai chỗ nào không mọi người xem giúp. :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenkant: 08-10-2017 - 17:48

Còn trời còn nước còn non
Còn cô bán rượu.... anh còn say sưa !!!


#3 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1433 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:The area of spectrec
  • Sở thích:Algebraic topology and Homological algebra

Đã gửi 08-10-2017 - 23:50

Bổ đề: [ Võ Quốc Bá Cẩn - Vasile Cirtoaje ]

Với $x,y,z$ dương và $xyz=1$ ta có:

$$  \sum \dfrac{1}{x^{2} +x+1} \geq 1$$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$$ \sum \left [ \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} \right ] \geq 1 $$

Ta có đánh giá sau: 

$$  \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}}  \geq \dfrac{1}{a^{\dfrac{1}{4} } +a^{\dfrac{1}{8}} +1  }$$

Theo bổ đề trên ta thu được điều phải chứng minh.

 

Đang đi uống cafe không biết tính toán hay có sai chỗ nào không mọi người xem giúp. :)

Lời giải rất hay nhưng làm sao nghĩ ra được đánh giá trên ?


" As Grothendieck taught us , object aren't of great importance , it's relation between them that are " - Serre

#4 thedarknight

thedarknight

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 09-10-2017 - 00:00

Sao mình thấy thuộc khoảng 0,1 đánh giá của bạn lại không thỏa mãn nhỉ hay thêm phát chia khoảng vào


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thedarknight: 09-10-2017 - 00:02


#5 nguyenkant

nguyenkant

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-10-2017 - 00:15

Lời giải rất hay nhưng làm sao nghĩ ra được đánh giá trên ?

Ta cần tìm 1 đánh giá:

$$  \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}}  \geq \dfrac{1}{a^{2m } +a^{m} +1  }$$

đúng với mọi giá trị $a$ , tức là ta cần tìm $m$ thỏa mãn đánh giá trên. Ta coi:

$$ f(a) = \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} - \dfrac{1}{a^{2m } +a^{m} +1  }$$ 

là 1 hàm số theo biến $a$ và tìm $m$ sao cho hàm số đại Giá trị nhỏ nhất là $0 $ khi $a=1$.

Ta tìm $m$ sao cho thỏa mãn:

$$ f'(1) = 0  \Leftrightarrow  m = \dfrac{1}{8} $$

Để chứng minh đánh giá trên đúng ta chỉ cần tương đương.
Nếu tính toán đạo hàm không có gì sai thì đánh giá trên là đúng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenkant: 09-10-2017 - 00:19

Còn trời còn nước còn non
Còn cô bán rượu.... anh còn say sưa !!!


#6 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1433 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:The area of spectrec
  • Sở thích:Algebraic topology and Homological algebra

Đã gửi 09-10-2017 - 00:40

Ta cần tìm 1 đánh giá:

$$  \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}}  \geq \dfrac{1}{a^{2m } +a^{m} +1  }$$

đúng với mọi giá trị $a$ , tức là ta cần tìm $m$ thỏa mãn đánh giá trên. Ta coi:

$$ f(a) = \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} - \dfrac{1}{a^{2m } +a^{m} +1  }$$ 

là 1 hàm số theo biến $a$ và tìm $m$ sao cho hàm số đại Giá trị nhỏ nhất là $0 $ khi $a=1$.

Ta tìm $m$ sao cho thỏa mãn:

$$ f'(1) = 0  \Leftrightarrow  m = \dfrac{1}{8} $$

Để chứng minh đánh giá trên đúng ta chỉ cần tương đương.
Nếu tính toán đạo hàm không có gì sai thì đánh giá trên là đúng.

:D ủa vậy tại sao ban đầu lại biết sẽ dùng bổ đề này , liệu có sự may mắn nào không ? 


" As Grothendieck taught us , object aren't of great importance , it's relation between them that are " - Serre

#7 nguyenkant

nguyenkant

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-10-2017 - 01:04

Cũng có thể nói là vậy kiến thức về toán mình có hạn biết gì làm nấy thôi.
Thật ra ngay từ bước tìm $m$ đã là may mắn rồi.

Còn trời còn nước còn non
Còn cô bán rượu.... anh còn say sưa !!!


#8 thedarknight

thedarknight

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 09-10-2017 - 15:55

Ta cần tìm 1 đánh giá:
$$ \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{ \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}} + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} \geq \dfrac{1}{a^{2m } +a^{m} +1 }$$
đúng với mọi giá trị $a$ , tức là ta cần tìm $m$ thỏa mãn đánh giá trên. Ta coi:
$$ f(a) = \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{ \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}} + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} - \dfrac{1}{a^{2m } +a^{m} +1 }$$
là 1 hàm số theo biến $a$ và tìm $m$ sao cho hàm số đại Giá trị nhỏ nhất là $0 $ khi $a=1$.
Ta tìm $m$ sao cho thỏa mãn:
$$ f'(1) = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{8} $$
Để chứng minh đánh giá trên đúng ta chỉ cần tương đương.
Nếu tính toán đạo hàm không có gì sai thì đánh giá trên là đúng.

Đánh giá không đúng với 0 nhỏ hơn a nhỏ hơn 1

#9 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1296 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-10-2017 - 20:52

Cũng có thể nói là vậy kiến thức về toán mình có hạn biết gì làm nấy thôi.
Thật ra ngay từ bước tìm $m$ đã là may mắn rồi.

http://www.wolframal...1)) where a=0.5

 

Có vẻ bạn không được may mắn lắm khi $a=0.5$.


$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#10 Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm,Vĩnh Long

Đã gửi 15-10-2017 - 11:57

Bđt <=> $(\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+a^{2}}{2}}+\frac{2a}{1+a}} \right )^{\frac{1}{3}}+\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+b^{2}}{2}}+\frac{2b}{1+b}} \right )^{\frac{1}{3}}+\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+c^{2}}{2}}+\frac{2c}{1+c}} \right )^{\frac{1}{3}})^{3}\leq 27$

Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có:

$(\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+a^{2}}{2}}+\frac{2a}{1+a}} \right )^{\frac{1}{3}}+\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+b^{2}}{2}}+\frac{2b}{1+b}} \right )^{\frac{1}{3}}+\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+c^{2}}{2}}+\frac{2c}{1+c}} \right )^{\frac{1}{3}})^{3}\leq (1+1+1)(1+1+1)\sum \frac{2}{\sqrt{\frac{1+a^{2}}{2}}+\frac{2a}{1+a}}\leq 9\sum \frac{2}{\frac{1+a}{2}+\frac{2a}{1+a}}$

Ta cần chứng minh: $\sum \frac{2}{\frac{1+a}{2}+\frac{2a}{1+a}}\leq 3$

Thật vậy sử dụng bổ đề quen thuộc sao: a>0, b>0 thì $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

=> $\sum \frac{2}{\frac{1+a}{2}+\frac{2a}{1+a}}\leq \frac{2}{4}\sum (\frac{2}{1+a}+\frac{1+a}{2a})=\frac{1}{2}\sum (\frac{a^{2}+6a+1}{2a+2a^{2}})$

Ta chỉ cần chứng minh $\frac{1}{2}\sum (\frac{a^{2}+6a+1}{2a+2a^{2}})\leq 3$

$<=> 2\sum \frac{a^{2}+6a+1}{2a+2a^{2}}\leq 3.4=12$

$<=> \frac{2a^{2}+12a+2}{2a+2a^{2}}-1+\frac{2b^{2}+12b+2}{2b+2b^{2}}-1+\frac{2c^{2}+12c+2}{2c+2c^{2}}-1\leq 9$

 $<=> \sum \frac{5a+1}{a^{2}+a}\leq 9$

<=> $\frac{5a+1}{a^{2}+a}-5+ \frac{5b+1}{b^{2}+b}-5+ \frac{5c+1}{c^{2}+c}-5\leq -6$

$<=> \sum \frac{1-5a^{2}}{a^{2}+a}\leq -6$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duy Thai2002: 15-10-2017 - 11:57

Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#11 nguyenkant

nguyenkant

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi Hôm qua, 00:11

http://www.wolframal...1)) where a=0.5

 

Có vẻ bạn không được may mắn lắm khi $a=0.5$.

phía trên e tính nhầm $m = - 1$ mới đúng. A kiểm tra thử xem. Hi vọng nó sẽ không sai !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenkant: Hôm nay, 23:12

Còn trời còn nước còn non
Còn cô bán rượu.... anh còn say sưa !!!





1 người đang xem chủ đề

1 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh