Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum\left(\frac{2}{\sqrt{\frac{1+a^{2}}{2}}+\frac{2a}{1+a}}\right)^{1/3}\leq3$

* * * - - 5 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$.

Chứng minh rằng:

$\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+a^{2}}{2}}+\frac{2a}{1+a}} \right )^{\frac{1}{3}}+\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+b^{2}}{2}}+\frac{2b}{1+b}} \right )^{\frac{1}{3}}+\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+c^{2}}{2}}+\frac{2c}{1+c}} \right )^{\frac{1}{3}}\leq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 10-01-2014 - 19:11


#2
nguyenkant

nguyenkant

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

Bổ đề: [ Võ Quốc Bá Cẩn - Vasile Cirtoaje ]

Với $x,y,z$ dương và $xyz=1$ ta có:

$$  \sum \dfrac{1}{x^{2} +x+1} \geq 1$$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$$ \sum \left [ \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} \right ] \geq 1 $$

Ta có đánh giá sau: 

$$  \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}}  \geq \dfrac{1}{a^{\dfrac{1}{4} } +a^{\dfrac{1}{8}} +1  }$$

Theo bổ đề trên ta thu được điều phải chứng minh.

 

Đang đi uống cafe không biết tính toán hay có sai chỗ nào không mọi người xem giúp. :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenkant: 08-10-2017 - 17:48

Còn trời còn nước còn non
Còn cô bán rượu.... anh còn say sưa !!!


#3
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Bổ đề: [ Võ Quốc Bá Cẩn - Vasile Cirtoaje ]

Với $x,y,z$ dương và $xyz=1$ ta có:

$$  \sum \dfrac{1}{x^{2} +x+1} \geq 1$$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$$ \sum \left [ \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} \right ] \geq 1 $$

Ta có đánh giá sau: 

$$  \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}}  \geq \dfrac{1}{a^{\dfrac{1}{4} } +a^{\dfrac{1}{8}} +1  }$$

Theo bổ đề trên ta thu được điều phải chứng minh.

 

Đang đi uống cafe không biết tính toán hay có sai chỗ nào không mọi người xem giúp. :)

Lời giải rất hay nhưng làm sao nghĩ ra được đánh giá trên ?


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#4
thedarknight

thedarknight

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Sao mình thấy thuộc khoảng 0,1 đánh giá của bạn lại không thỏa mãn nhỉ hay thêm phát chia khoảng vào


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thedarknight: 09-10-2017 - 00:02


#5
nguyenkant

nguyenkant

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

Lời giải rất hay nhưng làm sao nghĩ ra được đánh giá trên ?

Ta cần tìm 1 đánh giá:

$$  \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}}  \geq \dfrac{1}{a^{2m } +a^{m} +1  }$$

đúng với mọi giá trị $a$ , tức là ta cần tìm $m$ thỏa mãn đánh giá trên. Ta coi:

$$ f(a) = \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} - \dfrac{1}{a^{2m } +a^{m} +1  }$$ 

là 1 hàm số theo biến $a$ và tìm $m$ sao cho hàm số đại Giá trị nhỏ nhất là $0 $ khi $a=1$.

Ta tìm $m$ sao cho thỏa mãn:

$$ f'(1) = 0  \Leftrightarrow  m = \dfrac{1}{8} $$

Để chứng minh đánh giá trên đúng ta chỉ cần tương đương.
Nếu tính toán đạo hàm không có gì sai thì đánh giá trên là đúng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenkant: 09-10-2017 - 00:19

Còn trời còn nước còn non
Còn cô bán rượu.... anh còn say sưa !!!


#6
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Ta cần tìm 1 đánh giá:

$$  \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}}  \geq \dfrac{1}{a^{2m } +a^{m} +1  }$$

đúng với mọi giá trị $a$ , tức là ta cần tìm $m$ thỏa mãn đánh giá trên. Ta coi:

$$ f(a) = \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} - \dfrac{1}{a^{2m } +a^{m} +1  }$$ 

là 1 hàm số theo biến $a$ và tìm $m$ sao cho hàm số đại Giá trị nhỏ nhất là $0 $ khi $a=1$.

Ta tìm $m$ sao cho thỏa mãn:

$$ f'(1) = 0  \Leftrightarrow  m = \dfrac{1}{8} $$

Để chứng minh đánh giá trên đúng ta chỉ cần tương đương.
Nếu tính toán đạo hàm không có gì sai thì đánh giá trên là đúng.

:D ủa vậy tại sao ban đầu lại biết sẽ dùng bổ đề này , liệu có sự may mắn nào không ? 


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#7
nguyenkant

nguyenkant

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết
Cũng có thể nói là vậy kiến thức về toán mình có hạn biết gì làm nấy thôi.
Thật ra ngay từ bước tìm $m$ đã là may mắn rồi.

Còn trời còn nước còn non
Còn cô bán rượu.... anh còn say sưa !!!


#8
thedarknight

thedarknight

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Ta cần tìm 1 đánh giá:
$$ \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{ \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}} + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} \geq \dfrac{1}{a^{2m } +a^{m} +1 }$$
đúng với mọi giá trị $a$ , tức là ta cần tìm $m$ thỏa mãn đánh giá trên. Ta coi:
$$ f(a) = \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{ \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}} + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} - \dfrac{1}{a^{2m } +a^{m} +1 }$$
là 1 hàm số theo biến $a$ và tìm $m$ sao cho hàm số đại Giá trị nhỏ nhất là $0 $ khi $a=1$.
Ta tìm $m$ sao cho thỏa mãn:
$$ f'(1) = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{8} $$
Để chứng minh đánh giá trên đúng ta chỉ cần tương đương.
Nếu tính toán đạo hàm không có gì sai thì đánh giá trên là đúng.

Đánh giá không đúng với 0 nhỏ hơn a nhỏ hơn 1

#9
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Cũng có thể nói là vậy kiến thức về toán mình có hạn biết gì làm nấy thôi.
Thật ra ngay từ bước tìm $m$ đã là may mắn rồi.

http://www.wolframal...1)) where a=0.5

 

Có vẻ bạn không được may mắn lắm khi $a=0.5$.


“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#10
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Bđt <=> $(\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+a^{2}}{2}}+\frac{2a}{1+a}} \right )^{\frac{1}{3}}+\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+b^{2}}{2}}+\frac{2b}{1+b}} \right )^{\frac{1}{3}}+\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+c^{2}}{2}}+\frac{2c}{1+c}} \right )^{\frac{1}{3}})^{3}\leq 27$

Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có:

$(\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+a^{2}}{2}}+\frac{2a}{1+a}} \right )^{\frac{1}{3}}+\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+b^{2}}{2}}+\frac{2b}{1+b}} \right )^{\frac{1}{3}}+\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+c^{2}}{2}}+\frac{2c}{1+c}} \right )^{\frac{1}{3}})^{3}\leq (1+1+1)(1+1+1)\sum \frac{2}{\sqrt{\frac{1+a^{2}}{2}}+\frac{2a}{1+a}}\leq 9\sum \frac{2}{\frac{1+a}{2}+\frac{2a}{1+a}}$

Ta cần chứng minh: $\sum \frac{2}{\frac{1+a}{2}+\frac{2a}{1+a}}\leq 3$

Thật vậy sử dụng bổ đề quen thuộc sao: a>0, b>0 thì $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

=> $\sum \frac{2}{\frac{1+a}{2}+\frac{2a}{1+a}}\leq \frac{2}{4}\sum (\frac{2}{1+a}+\frac{1+a}{2a})=\frac{1}{2}\sum (\frac{a^{2}+6a+1}{2a+2a^{2}})$

Ta chỉ cần chứng minh $\frac{1}{2}\sum (\frac{a^{2}+6a+1}{2a+2a^{2}})\leq 3$

$<=> 2\sum \frac{a^{2}+6a+1}{2a+2a^{2}}\leq 3.4=12$

$<=> \frac{2a^{2}+12a+2}{2a+2a^{2}}-1+\frac{2b^{2}+12b+2}{2b+2b^{2}}-1+\frac{2c^{2}+12c+2}{2c+2c^{2}}-1\leq 9$

 $<=> \sum \frac{5a+1}{a^{2}+a}\leq 9$

<=> $\frac{5a+1}{a^{2}+a}-5+ \frac{5b+1}{b^{2}+b}-5+ \frac{5c+1}{c^{2}+c}-5\leq -6$

$<=> \sum \frac{1-5a^{2}}{a^{2}+a}\leq -6$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duy Thai2002: 15-10-2017 - 11:57

Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#11
nguyenkant

nguyenkant

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

http://www.wolframal...1)) where a=0.5

 

Có vẻ bạn không được may mắn lắm khi $a=0.5$.

phía trên e tính nhầm $m = - 1$ mới đúng. A kiểm tra thử xem. Hi vọng nó sẽ không sai !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenkant: 18-10-2017 - 23:12

Còn trời còn nước còn non
Còn cô bán rượu.... anh còn say sưa !!!


#12
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

phía trên e tính nhầm $m = - 1$ mới đúng. A kiểm tra thử xem. Hi vọng nó sẽ không sai !

Ý bạn là hàm này đúng không? Nhìn đồ thị thi thấy có vẻ không đúng lắm.

VMF.png

Còn @Duy Thai2002, phần "ta cần chứng minh" của em, cho $a\to 0$ thì bất đẳng thức không đúng nữa. (Hãy thử với $a$ đủ nhỏ, $a=0.1$ gì đó.)

 

 

 

Bài toán này được PSW đăng lên đã lâu nhưng chưa có ai giải được trọn vẹn, BTC quyết định để hoa hồng hi vọng cho bài toán này.


“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh