Chủ đề này có 6 trả lời

[zzhanamjchjzz]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác và p là nửa chu vi CMR:

$\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \geq 2$

[25 minutes]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác và p là nửa chu vi CMR:

$\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \geq 2$

$a,b,c$ phải có điều kiện gì thì mới có GTNN là $2$ chứ, bất đẳng thức không đồng bậc mà ???????????????

[zzhanamjchjzz]

chỉ có là 3 cạnh tam giác ak bạn 

[25 minutes]

chỉ có là 3 cạnh tam giác ak bạn 

Thế thì cho $a=b=c=28$ thử xem thế nào ???????????

[zzhanamjchjzz]

ko ra 2

[Super Fields]

Phải chăng đề chính xác như thế này???

-------------------------------------------------------------------------------------------------
$\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-c}\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Nếu vậy thì Super fields xin giải luôn!!

 

Lời giải:

 

Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phụ : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\forall a;b> 0$

 

Và $p-a;p-b;p-c>0$ theo bất đẳng thức trong tam giác.

 

Áp dụng bất đẳng thức phụ vừa chứng minh, ta có:

 

$\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\geq \frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}$ $(1)$

 

$\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geq \frac{4}{2p-b-c}=\frac{4}{a}$ $(2)$

 

$\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\geq \frac{4}{2p-c-a}=\frac{4}{b}$ $(3)$

 

Cộng $1;2;3$ vế theo vế, ta được:

 

$2(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-c})\geq 4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

 

$\Rightarrow đ.p.c.m$

 

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

P/s: Theo zzhanamjchjzz thì đúng là cần điều kiện ( chẳng hạn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$?). Bác Toc Ngan nhỉ  ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 10-01-2014 - 21:41

[Van Chung]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác và p là nửa chu vi CMR:

$\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \geq 2$

Đầu bài chắc là thiếu rồi bạn phải cho a+b+c=2 thì mới chứng minh đc chứ.

Cách giải:

Áp dụng bđt AM-GM ta được:

$\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geq \frac{3}{\frac{1}{2}.(a+b+c)}=$1,5+\frac{1}{a+b+c}.$