Chủ đề này có 5 trả lời

[Binh Le]

$Cho$ $x,y>0$ và $x+y=1$

$Cmr$ $P=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}\geq \frac{2\sqrt{3}}{3}$

p/s: không dùng trebusep

[kfcchicken98]

$\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+2xy+y^{2}-x^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{2xy+y^{2}}}$

suy ra $P=\frac{x}{\sqrt{y^{2}+2xy}}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+2xy}}$

đặt S= $x(y^{2}+2xy)+y(x^{2}+2xy)$

$P^{2}S\geq (x+y)^{3}$

suy ra $P^{2}\geq \frac{(x+y)^{3}}{xy^{2}+2x^{2}y+yx^{2}+2xy^{2}}=\frac{(x+y)^{3}}{3xy(x+y)}=\frac{x^{3}+y^{3}+3xy(x+y)}{3xy(x+y)}\geq \frac{4xy(x+y)}{3xy(x+y)}=\frac{4}{3}$

suy ra $P\geq \frac{2}{\sqrt{3}}$

[kfcchicken98]

dùng cô si:

$P=\frac{x}{\sqrt{y^{2}+2xy}}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+2xy}}=\frac{x^{2}}{\sqrt{x}\sqrt{xy^{2}+2x^{2}y}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{y}\sqrt{yx^{2}+2xy^{2}}}\geq \frac{(x+y)^{2}}{\sqrt{3xy}}\geq \frac{1}{\sqrt{3\frac{1}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

[leduylinh1998]

dùng cô si:

$P=\frac{x}{\sqrt{y^{2}+2xy}}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+2xy}}$$=\frac{x^{2}}{\sqrt{x}\sqrt{xy^{2}+2x^{2}y}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{y}\sqrt{yx^{2}+2xy^{2}}}\geq \frac{(x+y)^{2}}{\sqrt{3xy}}$$\geq \frac{1}{\sqrt{3\frac{1}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

Đoạn này mình không hiểu, bạn giải chi tiết ra được không?

[nguyenqn1998]

Đoạn này mình không hiểu, bạn giải chi tiết ra được không?

$\frac{x^2}{\sqrt{x}\sqrt{xy^2+2x^2y}}+\frac{y^2}{\sqrt{y}\sqrt{yx^2+2xy^2}}\geq \frac{(x+y)^2}{\sqrt{x}\sqrt{xy^2+2x^2y}+\sqrt{y}\sqrt{yx^2+2xy^2}}\geq\frac{(x+y)^2}{\sqrt{(x+y)(3xy(x+y))}}\geq\frac{(x+y)^2}{\sqrt{3xy}}$

[trandaiduongbg]

$Cho$ $x,y>0$ và $x+y=1$

$Cmr$ $P=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}\geq \frac{2\sqrt{3}}{3}$

p/s: không dùng trebusep

Bài này xuất hiện nhiều rùi!

Cách khác:

$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\sqrt{3}.x}{\sqrt{3y(1+x)}} \geq \frac{2\sqrt{3}x}{3y+x+1}= \frac{\sqrt{3}x}{y+1}$

Tương tự cộng lại và ta có:

$\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y} \geq \frac{(x+y)^2}{2xy+x+y} \geq \frac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 12-01-2014 - 22:03