Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(c+a)^{2}}\geq ..$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết

1/Cho $a,b,c$ là các số thực dương,chứng minh : $\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3}{4}$

2/Cho $a,b,c$ là các số thực dương thõa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng :$\frac{1}{(1+a)^{3}}+\frac{1}{(1+b)^{3}}+\frac{1}{(1+c)^{3}}\geq \frac{3}{8}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 11-01-2014 - 20:22

~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#2
Binh Le

Binh Le

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

CM bài 2 như sau 

$\frac{2}{(a+1)^{3}}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}.\frac{1}{(a+1)^{2}}$
$cmtt$ rồi cộng theo vế đc $2P+\frac{3}{8}\geq \frac{3}{2}(\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{1}{(b+1)^{2}}+\frac{1}{(c+1)^{2}})=\frac{3}{2}(\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{1}{(b+1)^{2}}+\frac{1}{(c+1)^{2}}+\frac{1}{4})-\frac{3}{8}$

Áp dụng bđt phụ $\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{1}{(b+1)^{2}}\geq \frac{1}{1+ab}$

                            $\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+1)^{2}}\geq \frac{1}{1+c}=\frac{abc}{abc +c}=\frac{ab}{ab+1}$

Suy ra $2P \geq \frac{3}{2}-2.\frac{3}{8}=\frac{3}{4}\Rightarrow P\geq \frac{3}{8}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Binh Le: 11-01-2014 - 21:20

๖ۣۜI will try my best ๖ۣۜ

 

                               


#3
kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết

bài 1

đặt $\frac{b}{a}=x; \frac{c}{b}=y; \frac{a}{c}=z$; xyz=1

bđt tương đương  $\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac{1}{(1+z)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(1+z)^{2}}=\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^{2}}=\frac{z^{2}+z+1}{(1+z)^{2}}$

có $z^{2}+1\geq 2z$

tương đương $4z^{2}+4z+4\geq 3z^{2}+6z+3$

tương đương $\frac{z^{2}+z+1}{(z+1)^{2}}\geq \frac{3}{4}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh