Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Trận 1 - Số học

mo 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 52 trả lời

#21 hieuvipntp

hieuvipntp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:internet,toán

Đã gửi 11-01-2014 - 23:11

   Đề bài: tìm $x,y$ không âm thỏa mãn $x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}$ (1) 

    Ta giải bày này bằng phương pháp giới hạn,cụ thể là chứng minh $x>y$ và $x<y+2$

    Xét $(y+2)^{2}-x^{2}$ hay $(y+2)^{2}-y^{2}-\sqrt{y+1}=y^{2}+4y+4-y^{2}-\sqrt{y+1}= \sqrt{y+1}(4\sqrt{y+1}-1)> 0$ do $4\sqrt{y+1}-1>4-1=3$

    Mặt khác,dễ thấy $x>y$ (do$\sqrt{y+1}>0$)

   Từ đó nhận được $x=y+1$, thay vào (1) được:

   $y^{2}+2y+1-y^{2}-\sqrt{y+1}=0\Leftrightarrow 2y+1=\sqrt{y+1}\Leftrightarrow 4y^{2}+3y=0$

   $\Leftrightarrow y=0$ hay $y=\frac{-3}{4}$(loại)

   Do đó,$x=y+1=1$

   Thử lại,thấy thỏa mãn (1)

      Kết luận:phương trình (1) có duy nhất nghiệm $(x;y)=(1;0)$ thoả mãn.

 

Không nên dùng từ "dễ thấy".

$d=10$

$d_{mr}=0;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=46$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 20:46


#22 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 11-01-2014 - 23:18

Bài làm:(MO09)

$x^2=y^2+\sqrt{y+1}\Leftrightarrow y+1=(x^2-y^2)^2>0$.

$x^2=y^2+\sqrt{y+1}> y^2\Rightarrow x\geq y+1\Leftrightarrow x^2\geq y^2+2y+1$

$\Leftrightarrow x^2-y^2\geq 2y+1\Leftrightarrow x^4-2x^2y^2+y^4\geq 4y^2+4y+1$

$\Rightarrow (x^2-y^2)^2\geq (2y+1)^2\Leftrightarrow y+1\geq (2y+1)^2\Leftrightarrow 4y^2+3y\leq 0$

$\Rightarrow y=0$. Thế lại phương trình ta suy ra $x=1$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=1,y=0$

 

Chỗ này không phải là tương đương, mà chỉ là suy ra, trừ 0,5đ:

$x^2=y^2+\sqrt{y+1}\Leftrightarrow y+1=(x^2-y^2)^2>0$

Không thử lại: trừ 1đ

$d=8,5$

$d_{mr}=0;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=41,5$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 20:52


#23 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 12-01-2014 - 00:11

Tìm các số nguyên không âm $x, y$ thỏa mãn đẳng thức.

$$x^2= y^2 + \sqrt{y+1}$$    (***)

Toán thủ ra đề VodichIMO

Xin ủng hộ thêm một cách giải:

    Đặt $y=a^{2}-1$    (a là số nguyên,$a^{2}\geq 1$). Khi đó:

 $x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}=\left ( a^{2}-1 \right )^{2}+\left | a \right |$

$=a^{4}-2a^{2}+\left | a \right |+1$   (*)

   xét trường hợp a>0.

pt (*) <=>$x^{2}=a^{4}-2a^{2}+ a+1$.

Ta có: $a^{4}\geq a^{4}-2a^{2}+a+1> \left ( a^{2}-1 \right )^{2}$ với a>0,a nguyên.

  suy ra $a^{4}\geq x^{2}> \left ( a^{2}-1 \right )^{2}$

 suy ra $a^{4}= x^{2}$ <=> $a^{2}= x$

 vậy y=x-1. Thế vào pt (***) ta được: $\left ( y+1 \right )^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}$

                                                         <=> $4y^{2}+3y=0$

              Vì y là số nguyên không âm nên y=0 suy ra x=1

  Xét trường hợp a<0 ( ta cũng tìm tương tự như trên )suy ra x=1 và y=0

  Vậy các số nguyên không âm cần tìm là x=1 và y=0

 

Tại sao phải đặt $a \in Z$ mà không chọn $a \in N$? Hơn nữa, cần phải giải thích chỗ này

$a^{4}\geq a^{4}-2a^{2}+a+1

Và dĩ nhiên, phải luôn cần thử lại, bởi cách làm trên không phải là tương đương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 19-01-2014 - 23:07

:lol:Thuận :lol:

#24 dkhanhht98

dkhanhht98

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Hà Tĩnh

Đã gửi 12-01-2014 - 00:19

Họ và tên: Võ Duy Khánh

 

Lớp: 10T1, THPT chuyên Hà Tĩnh.

                                                                                                                                Bài làm

\[x^2=y^2+\sqrt{y+1}\]

                   Ta có \[x^2>y^2\]

\[\Rightarrow x>y\]                                                                                                                     (do $x, y \ge 0$)

\[\Rightarrow x\ge y+1\]                                                                                                         (do $x, y$ là các số nguyên)

\[\Rightarrow x^2\ge (y+1)^2\]

\[\Rightarrow y^2+\sqrt{y+1}\ge (y+1)^2\]

\[\Rightarrow \sqrt{y+1}\ge 2y+1\]

\[\Rightarrow y=0\]

                                                                                                (do nếu $y>0$ thì $\sqrt{y+1}<y+1<2y+1$)

                  Với $y=0$ thì ta có $x^2=1\Rightarrow x=1$ (do $x\ge 0$).

                                                                                                                                                              Đáp số: $(x,y)=(1,0)$.

 

Không thử lại: trừ 1đ

Tại sao lại có $x^2>y^2$? trừ 1đ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 21:55


#25 TrungNhan

TrungNhan

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 12-01-2014 - 00:29

Từ đề bài ta suy ra: $x>y$ ta đặt $x=y+k$, $k \in \mathbb{N}^*$

Thế vào phương trình ta được:

$(y+k)^2=y^2+\sqrt{y+1}$ (1) => $2ky+k^2=\sqrt{y+1}$ => $4k^2y^2+(4k^3-1)y+k^4-1=0$

Phương trình bậc 2 đổi với y có nghiệm nguyên, theo hệ quả định lý Bézout => $k^4-1 \vdots 4k^2$ => $k=1$

Thế vào (1) ta giải được $y=0$ => $x=1$

Thử lại $x=1$ và $y=0$ thỏa bài toán.

Vậy $x=1$ và $y=0$ là các giá trị cần tìm.

 

Tại sao có mệnh đề này?

Phương trình bậc 2 đổi với y có nghiệm nguyên, theo hệ quả định lý Bézout => $k^4-1 \vdots 4k^2$ => $k=1$

Lời giải này không tính là lời giải đúng đầu tiên của TrungNhan.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 20:58


#26 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 12-01-2014 - 09:20

Bài làm

Giả sử tồn tại (x;y) thỏa mãn $x^2=y^2+\sqrt{y+1}$ (ĐK: $y \ge -1$)
Thì $(x^2-y^2)^2=y+1$

*) Nếu $x^2=y^2 \Rightarrow x=y  \text{hoặc} x=-y \Rightarrow x=y=-1 \text{hoặc} x=1 ; y=-1$ (loại)
*) Nếu $x^2 \ne y^2$ suy ra $x^2-y^2 \ne 0$ hay

$\left[\begin{matrix} |x| \ge |y|+1\\ |x|\le |y|-1\end{matrix}\right.$

+) Nếu $|x| \ge |y|+1 \Rightarrow x^2 \ge y^2+2y+1 \Rightarrow x^2-y^2 \ge 2|y|+1\\ \Rightarrow x^4-2x^2y^2+y^4 \ge 4y^2-4|y|+1 \ge 4y^2-4y+1 \\ \Rightarrow (x^2-y^2)^2 \ge (2y-1)^2.$

+) Nếu $|x| \le |y|-1 \Rightarrow x^2 \ge y^2-2y+1 \Rightarrow x^2-y^2 \ge -2|y|+1\\ \Rightarrow x^4-2x^2y^2+y^4 \ge 4y^2-4|y|+1 \ge 4y^2-4y+1 \\ \Rightarrow (x^2-y^2)^2 \ge (2y-1)^2.$

Tóm lại ta luôn có : $(x^2-y^2)^2 \ge (2y-1)^2$
Từ giả thiết suy ra $y+1 \ge (2y-1)^2 \Rightarrow 4y^2-5y \le 0 \Rightarrow 0 \le y \le 2$

Nếu $y=0 \Rightarrow x=1$
Nếu $y=1 $ loại
Nếu $y=2$ loại

Vậy $(x;y)=(1;0)$

 

Sai từ dòng này

$|x| \le |y|-1 \Rightarrow x^2 \ge y^2-2y+1$

$d=5$

$d_{mr}=0;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=28$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 21:06

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#27 cuongt1k23

cuongt1k23

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T1K23 , THPT chuyên Hà Tĩnh, tỉnh Hà Tĩnh
  • Sở thích:Math and Football

Đã gửi 12-01-2014 - 10:08

Tìm các số nguyên không âm $x,y$ thỏa mãn đẳng thức $$x^2=y^2+\sqrt{y+1}$$.
Ta có phương trình tương đương với

$$(x+y)(x-y)=\sqrt{y+1}.$$

Do đó $$x+y \ge 1; x-y \ge 1; x \ge 1.$$

Khi đó $$(x+y)(x-y) \ge x+y \ge y+1 \ge \sqrt{y+1}.$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=1; y=0$.

Thử lại thấy thỏa mãn.

Đáp số: $(x;y)=(1;0).$

 

Viết rõ hơn nữa thì tốt.

$d=9,5$

$d_{mr}=0;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=41,5$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 21:08


#28 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 12-01-2014 - 12:48

Tìm các số nguyên không âm $x, y$ thỏa mãn đẳng thức.

$$x^2= y^2 + \sqrt{y+1}$$

Toán thủ ra đề VodichIMO

Em không tham gia nhưng cũng xin đóng góp

Em xin làm 2 cách 

Cách 1:

Ta có

$x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}> y^{2}$

$(y+1)^{2}-(y^{2}+\sqrt{y+1})=y+(y+1-\sqrt{y+1})\geq 0$

Do đó $y^{2}<x^{2}\leq (y+1)^{2}$

Dấu "=" khi y=0 khi đó x=1(do $x\in \mathbb{N}$)

Nếu y>0 thì $y^{2}<x^{2}<(y+1)^{2}$(loại vì giữa 2 số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào ở giữa chúng)(*)

Vậy nghiệm của phương trình là $(x,y)=(1,0)$

Cách 2: 

Để phương trình có nghiệm nguyên thì $\sqrt{y+1}$ phải là 1 số chính phương 

Đặt$\sqrt{y+1}=t(t\in \mathbb{N})$

Khi đó $y=t^{2}-1$

Thay vào phương trình ta được:

$x^{2}=t^{2}+t-1\Leftrightarrow 4x^{2}=4t^{2}+4t-4\Leftrightarrow 4x^{2}=(2t+1)^{2}-5$

$\Leftrightarrow (2t+1-2x)(2t+1+2x)=5$

đây là phương trình ƯỚC SỐ với $2t+2x+1>0$ và $2t+2x+1>2t-2x+1$

 Do đó $2t+2x+1-5;2t-2x+1=1\Rightarrow t=1\Rightarrow x=1\Rightarrow y=0$

Vậy nghiệm của phương trình là  $(x,y)=(1,0)$

 

Em có thể CM bổ đề (*):(biết đâu)

Giả sử như vậy thì $k^{2}<a^{2}<(k+1)^{2}(a\in \mathbb{N})$

$\Rightarrow k<a<k+1$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq k+1 & \\ k+1-a\geq 1& \end{matrix}\right. \Rightarrow 0\geq 1$(Vô lí)

do đó (*) được chứng minh

 

Cách giải 2 sai từ dòng này

$x^{2}=t^{2}+t-1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 21:09

%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#29 TrungNhan

TrungNhan

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 12-01-2014 - 14:39

cách khác:

ta xét $y>0$ => $\sqrt{y+1}<2y+1$ => $y^2<y^2+\sqrt{y+1}<(y+1)^2$ => $y^2+\sqrt{y+1}$ không chính phương.

=> $x^2=y^2+\sqrt{y+1}$ (*) vô nghiệm.

Suy ra để (*) có nghiệm ta cần có $y=0$, thế vào (*) => $x=1$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1, y=0$.

 

Không thử lại nghiệm: trừ 1đ

$d=9$

$d_{mr}=10;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=48$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 21:24


#30 TrungNhan

TrungNhan

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 12-01-2014 - 15:22

Bài toán đã cho có nhiều hướng mở rộng:

Có thể sử dụng phần $\sqrt{y+1}$ để mở rộng cho nhiều bài toán khó hơn.

Theo như cách giải của em ở trên, ta có thêm một bài toán sau đây:

Tìm các giá trị $x,y$ nguyên không âm thỏa:

$x^2=y^2+\sqrt{y^2+82y+1}$.

Cách giải:

Ta nhận xét nếu $y=0$ => $x=1$. Suy ra $x=1, y=0$ là một nghiệm.

Xét $y>0$ => $y^2+82y+1<36y^2+108y+81=(6y+9)^2$ => $y^2+\sqrt{y^2+82y+1}<y^2+6y+9=(y+3)^2$

=> $x=y+1$ hoặc $x=y+2$

Giải từng trường hợp, chỉ có trường hợp $x=y+2$ có nghiệm nguyên với $x=5, y=3$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $(1;0)$, $(5,3)$.



#31 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 12-01-2014 - 16:44

-Với $y=0= > x^2=y^2+\sqrt{y+1}=0+\sqrt{1}=1= > x^2=1= > x=1$(Do $x\geq 0$)

-Với $y> 0= > y+\frac{3}{4}> 0= > y(y+\frac{3}{4})> 0= > 4y^2+3y> 0= > (2y+1)^2> y+1= > 2y+1> \sqrt{y+1}= > y^2+\sqrt{y+1}< y^2+2y+1=(y+1)^2= > x^2< (y+1)^2$(1)

 Do $\sqrt{y+1}> 0= > x^2=y^2+\sqrt{y+1}> y^2= > x^2> y^2$(2)

Từ (1),(2) $= > y^2< x^2< (y+1)^2$ (Điều này luôn vô lý vì giữa 2 số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào )

    Vậy nghiệm của phương trình $(x,y)=(1,0)$



#32 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 12-01-2014 - 17:00

Bài làm : ($MO31$)

-Nếu $y=0= > x^2=y^2+\sqrt{y+1}=0+\sqrt{1}=1= > x^2=1= > x=1$(Do $x\geq 0$)

-Nếu $y> 0= > 4y+3> 0= > y(4y+3)> 0= > 4y^2+4y+1> y+1= > (2y+1)^2> y+1= > 2y+1> \sqrt{y+1}= > x^2=y^2+\sqrt{y+1}< y^2+2y+1=(y+1)^2= > x^2< (y+1)^2$(1)

 Mà $y^2< y^2+\sqrt{y+1}=x^2= > x^2> y^2$(2)

Từ (1) ,(2) $= > y^2< x^2< (y+1)^2$( Điều này vô lý do giữa 2 số chính phương liên tiếp không tồn tại số chính phương nào khác)

  Vậy nghiệm nguyên của phương trình là $(x,y)=(1,0)$

 

$d=10$

$d_{mr}=0;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=40$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 21:28


#33 tienthcsln

tienthcsln

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 12-01-2014 - 17:28

Giải:

Từ giả thiết ta thấy: $x^2> y^2$ ( do $y\leq 0$)

Mặt khác: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$x^2\leq y^2 +\frac{y+1+1}{2}=y^2+\frac{y}{2}+1\leq (y+1)^2$

(Đẳng thức xảy ra khi y=0).

Suy ra:

$y^2 < x^2\leq (y+1)^2$

Xét 2 trường hợp:

TH1: $y=0\Leftrightarrow 0< x^2= 1\Rightarrow  x=1$ 

TH2: $y>0\Leftrightarrow y^2< x^2<(y+1)^2$, không thỏa mãn.

Thử lại thấy $ x=1, y=0$ đúng.

Vậy nghiệm nguyêm không âm của PT là: $(x;y)=(1;0)$

 

Dòng này viết sai: trừ 0,5đ

Từ giả thiết ta thấy: $x^2> y^2$ ( do $y\leq 0$)

Chưa giải thích kĩ: trừ 0,5đ

y^2+\frac{y}{2}+1\leq (y+1)^2$

$d=9$

$d_{mr}=0;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=37$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 21:30


#34 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 12-01-2014 - 17:43

Tìm các số nguyên không âm $x, y$ thỏa mãn đẳng thức.

$$x^2= y^2 + \sqrt{y+1}$$

Toán thủ ra đề VodichIMO

Bài làm của MSS10-LNH

Cách 2:

Ta có:

$x^2=y^2+\sqrt{y+1}$

$\Leftrightarrow x^2-y^2=\sqrt{y+1}$

Vì $VP>0$ nên $x>y$

Vì $x,y$ là số nguyên nên $x \geq y+1$

Suy ra $y^2+\sqrt{y+1} \geq \left ( y+1 \right )^2$

$\Leftrightarrow \sqrt{y+1} \geq 2y+1$

Đặt $z=\sqrt{y+1}$ ($z \geq 1$), ta có:

$z \geq 2z^2-1$

Giải bất phương trình ta được $z \leq 1$

Suy ra $z=1$

Từ đây ta được $y=0$ và $x=1$



#35 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 12-01-2014 - 17:50

Tìm các số nguyên không âm $x, y$ thỏa mãn đẳng thức.

$$x^2= y^2 + \sqrt{y+1}$$

Toán thủ ra đề VodichIMO

Bài làm của MO10-LNH:

Cách 3:

$x^2=y^2+\sqrt{y+1}$

$\Leftrightarrow x^2-y^2=\sqrt{y+1}$ (1)

Vì $VP \geq 1$ nên $x>y$

$\left ( 1 \right ) \Leftrightarrow \left ( x^2-y^2 \right )^2=y+1$

$\Leftrightarrow \left ( x+y \right )^2\left ( x-y \right )^2=y+1$

Suy ra $x+y \mid y+1$

Vì $x+y,x-y,y+1>0$ nên ta có:

$x+y \leq y+1$

$VT>2y$ X

Suy ra $2y<y+1$

$\Leftrightarrow y<1$

Vậy $y=0$, $x=1$

Thử lại thấy đúng nên ta nhận nghiệm trên

 

Chỗ dấu X khá khó hiểu. VT của cái gì? Hơn nữa, từ ngày bất đẳng thức liền trên, đã có thể suy ra $x=0$ hoặc $x=1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 19-01-2014 - 22:51


#36 levansang

levansang

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 12-01-2014 - 19:56

Ta có x,y là số không âm

(x-y)(x+y)=căn bậc hai của(y+1)

VT>0 và (x+y)>0 nên x>y

TH1: y=0 nên x=1 thỏa mãn

TH2:x>y>0 nên (x-y)^2(x+y)^2=y+1

dễ chứng minh rằng (x-y)^2(x+y)^2>(x+y)^2>(y+1)^2>(y+1)

 

 

Vậy phương trình có 1 nghiệm nguyên không âm duy nhất (x;y) là (1;0)

 

Vui lòng gõ latex.

Không bao giờ nói "dễ chứng minh...": trừ 1đ

Không thử lại: trừ 1đ

$d=8$

$d_{mr}=0;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=33$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 21:33

TOÁN HỌC LÀ MỘT MÔN DUY NHẤT CÓ ẢNH HƯỞNG VĨ ĐẠI ĐẾN LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CUẢ CON NGƯỜI

#37 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 14-01-2014 - 10:25

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#38 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 14-01-2014 - 12:24

$$x^2= y^2 + \sqrt{y+1}$$

Điều kiện:$y+1\geq 0\Leftrightarrow y\geq -1$

$\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}=\sqrt{y+1} (1)$

Xét y=-1, thay vào (1) ta được $x^{2}=1$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x=1 & \\
x=-1 &
\end{bmatrix}$

Xét y=0, thay vào (1) ta được $x^{2}=1$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x=1 & \\
x=-1 &
\end{bmatrix}$

Xét $y\geq 1\Rightarrow y+1\geq \sqrt{y+1}$ (do $(y+1)^{2}-(y+1)=(y+1)y\geq 0$ đúng)

$x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}\leq y^{2}+y+1 < (y+1)^{2}$ với mọi $x,y\in \mathbb{Z}$ (*)

Từ (1) ta có $x^{2}-y^{2}=\sqrt{y+1}> 0 ( y\geq 1)\Leftrightarrow x^{2}> y^{2}$

(*) và (**) suy ra $y^{2}< x^{2}< (y+1)^{2}$ (loại)

Vậy ta có các cặp nghệm (x;y)=$(-1;1);(-1;-1);(1;0);(-1;0)$

sửa lại chỗ kết luận nghiệm vì đề yêu cầu nghiệm không âm nên không cần xét trường hợp y=-1 và kết luận dư nghiệm


:lol:Thuận :lol:

#39 TrungNhan

TrungNhan

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 14-01-2014 - 15:09

cách khác:

ta xét $y>0$ => $\sqrt{y+1}<2y+1$ => $y^2<y^2+\sqrt{y+1}<(y+1)^2$ => $y^2+\sqrt{y+1}$ không chính phương.

=> $x^2=y^2+\sqrt{y+1}$ (*) vô nghiệm.

Suy ra để (*) có nghiệm ta cần có $y=0$, thế vào (*) => $x=1$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1, y=0$.

Vì bài làm chưa hết hạn - em xin chọn cách giải này, bỏ cách giải đầu được không Thầy.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrungNhan: 14-01-2014 - 15:10


#40 gk25dtm

gk25dtm

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-01-2014 - 18:17



Họ và tên: Võ Duy Khánh

 

Lớp: 10T1, THPT chuyên Hà Tĩnh.

                                                                                                                                Bài làm

\[x^2=y^2+\sqrt{y+1}\]

                   Ta có \[x^2>y^2\]

\[\Rightarrow x>y\]                                                                                                                     (do $x, y \ge 0$)

\[\Rightarrow x\ge y+1\]                                                                                                         (do $x, y$ là các số nguyên)

\[\Rightarrow x^2\ge (y+1)^2\]

\[\Rightarrow y^2+\sqrt{y+1}\ge (y+1)^2\]

\[\Rightarrow \sqrt{y+1}\ge 2y+1\]

\[\Rightarrow y=0\]

                                                                                                (do nếu $y>0$ thì $\sqrt{y+1}<y+1<2y+1$)

                  Với $y=0$ thì ta có $x^2=1\Rightarrow x=1$ (do $x\ge 0$).

                                                                                                                                                              Đáp số: $(x,y)=(1,0)$.

trong suốt quá trình làm bài dùng toàn dấu " $ \Rightarrow $ " mà không thử lại 

Sai cơ bản :3







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh