Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Trận 1 - Số học

mo 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 52 trả lời

#41 PTKBLYT9C1213

PTKBLYT9C1213

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vietnam
  • Sở thích:Sông Lam Nghệ An

Đã gửi 14-01-2014 - 20:24

Xem phương trình $x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}$ với x,y thuộc Z*

* Với y=0 => $x^{2}=1$, x$\in$Z* =>x=1

*Với y $\geq 1$ =>x$\geq 3$

Ta có $x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}\Leftrightarrow \left ( x+y \right )^{2}\left ( x-y \right )^{2}=y+1$

suy ra: y+1 chia hết cho x+y, vô lý.( vì x+y>y+1, x$\geq 3$)

Do đó các số nguyên không âm phải tìm là x=1 và y=0

Chỗ màu đó bạn chuyển vế bình phương mà quên không đặt điều kiện x>y thì phải.


                      THE SHORTEST ANSWER IS DOING 

                        :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  

 


#42 PTKBLYT9C1213

PTKBLYT9C1213

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vietnam
  • Sở thích:Sông Lam Nghệ An

Đã gửi 14-01-2014 - 20:29

Mở rộng bài toán :

 

Tìm các số nguyên không âm $x,y$ thỏa mãn :

$x^n=y^n+\sqrt[k]{y+1}$ trong đó $n$ thuộc $\mathbb{N}^*,n>1$ , $0\leq k\leq 1$

Hướng giải : Ta chứng minh được $y^n<x^n\leq (y+1)^n$ 

Sao lại $0\leq k\leq 1$?, theo mình thì $k\geq 2$ mới đúng chứ


                      THE SHORTEST ANSWER IS DOING 

                        :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  

 


#43 PTKBLYT9C1213

PTKBLYT9C1213

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vietnam
  • Sở thích:Sông Lam Nghệ An

Đã gửi 14-01-2014 - 20:34

Bài làm:(MO09)

$x^2=y^2+\sqrt{y+1}\Leftrightarrow y+1=(x^2-y^2)^2>0$.

$x^2=y^2+\sqrt{y+1}> y^2\Rightarrow x\geq y+1\Leftrightarrow x^2\geq y^2+2y+1$

$\Leftrightarrow x^2-y^2\geq 2y+1\Leftrightarrow x^4-2x^2y^2+y^4\geq 4y^2+4y+1$

$\Rightarrow (x^2-y^2)^2\geq (2y+1)^2\Leftrightarrow y+1\geq (2y+1)^2\Leftrightarrow 4y^2+3y\leq 0$

$\Rightarrow y=0$. Thế lại phương trình ta suy ra $x=1$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=1,y=0$

Dấu $\Leftrightarrow$ ở chỗ này không đúng.

$x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq y\\y+1=(x^{2}-y^{2})^{2} \end{matrix}\right.$


                      THE SHORTEST ANSWER IS DOING 

                        :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  

 


#44 pdtienArsFC

pdtienArsFC

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 133 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi tình yêu Toán Học bắt đầu
  • Sở thích:Học Toán,Làm Toán,Nháp Toán,Giải Toán...

Đã gửi 18-01-2014 - 18:19

 

Bài làm của MO26: Phan Trung Kiên

 

Ta có: 

$x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}> y^{2}$ do $\sqrt{y+1}> 0$ với mọi $y$ nguyên không âm         (1)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số nguyên không âm $y+1$ và $1$ ta có:

         $\frac{y+1+1}{2}\geq \sqrt{y+1}\Leftrightarrow \frac{y}{2}+1\geq \sqrt{y+1}$

Nên $x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}\leq y^{2}+\frac{y}{2}+1$

Mà $\frac{y}{2}\leq 2y$ với $\forall y$

$\Rightarrow y^{2}+\sqrt{y+1}\leq y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}\Leftrightarrow x^{2}\leq (y+1)^{2}$          (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow y^{2}< x^{2}\leq (y+1)^{2}$

Vì $x,y$ là các số nguyên không âm nên $x^{2}=(y+1)^{2}$  (*)

Thay (*) vào đẳng thức đã cho ta được:

$(y+1)^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}$

$\Leftrightarrow y^{2}+2y+1=y^{2}+\sqrt{y+1}$

$\Leftrightarrow 2y+1=\sqrt{y+1}$

$\Leftrightarrow 4y^{2}+4y+1=y+1$

$\Leftrightarrow 4y^{2}+3y=0$

$\Leftrightarrow y=0$ hoặc $y=-\frac{3}{4}$  (loại)

$\Rightarrow x=1$

Vậy bộ số $(x;y)$ thõa mãn là $(1;0)$

 

Vì dấu = xảy ra nên $\frac{y}{2}=2y$ nên y=0. Thế vào giải ra x=1. Không cần giải lằng nhằng như trên.


                           80b68e1e79774daab705a98543684359.0.gif

 


#45 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 19-01-2014 - 15:08

Thời gian thảo luận đã hết. Mời TRONG TAI bắt đầu chấm bài


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#46 TRONG TAI

TRONG TAI

    Trọng tài MO2014

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-01-2014 - 22:19

Đáp án đề nghị:

Ta có: $x^2 = y^2 + \sqrt{y+1}\quad (1) \Rightarrow x^2-y^2 = \sqrt{y+1}$
Do $x^2,y^2$ là số nguyên nên $x^2-y^2$ là số nguyên, suy ra $\sqrt{y+1}$ là số nguyên, mà $\sqrt{y+1} \geq 0$ suy ra $\sqrt{y+1} = k ( k \in N ) \Rightarrow y+1 = k^2 \Rightarrow y^2= k^4-2k^2+1$.
Từ phương trình (1) suy ra: $x^2 = k^4-2k^2+1+k\quad (2)$
Do $k \in N \Rightarrow k^4+4k^3+6k^2+4k+1 > k^4-2k^2+k+1$ hay $(k+1)^4 > x^2$
Ta lại có:$k^4-2k^2+k+1-(k^4-4k^3+6k^2-4k+1) = 4k^3-8k^2+5k = 4k(k-1)^2+k > 0$ suy ra $k^4-2k^2+k+1 > (k-1)^4$ hay $x^2 > (k-1)^4$.
vậy $(k-1)^4 < x^2 < (k+1)^4$. Mà $x^2$ là một số chính phương, do đó $x^2= k^4$. Thay vào (2) ta được: $2k^2-k-1 = 0$
Phương trình này có 2 nghiệm $k = 1$ (chọn); $k = \frac{-1}{2}$ (loại)
Với $k =1$ thì $\sqrt{y+1} = 1$ và $x^2 = 1$. Suy ra $x =1; y = 0$ ( Vì $x\in N$)
Các số phải tìm là $(x;y)=(1;0)$

==================================

Điểm cho toán thủ VodichIMO:

$n_{klb}=11;n_{mr}=3;d_{tl}=5$
$D_{rd}=63$

Tổng kết điểm:

File gửi kèm  MO 1.png   41.61K   6 Số lần tải


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 24-01-2014 - 19:51

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại:
http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...

#47 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 21-01-2014 - 11:38

Bài làm của toán thủ MO10-LNH

Ta có:

$x^2=y^2+\sqrt{y+1}$

Vì vế trái là số nguyên, $y^2$ là số nguyên nên $\sqrt{y+1}$ là số nguyên

Đặt $y=y_1^2-1$ ($y_1 \geq 1$)

Phương trình tương đương với:

$x^2=y_1^4-2y_1^2+y_1+1$

Xét 2 trường hợp:

TH1: $y_1=1$

Khi đó $x^2=1$, suy ra $x=1$, $y=0$ là nghiệm của phương trình.

TH2: $y_1>1$

Suy ra $-2y_1^2+y_1+1<0$ (Dễ dàng CM bằng việc giải bất phương trình) X

Từ đây, ta có:

$y_1^4>x^2>\left ( y_1^2-1 \right )^2$

Mà $y_1^4$ và $\left ( y_1^2-1 \right )^2$ là hai số chính phương liên tiếp, nên ta không tìm được $x$ thoả mãn

Vậy $x=1$, $y=0$ là nghiệm nguyên không âm của phương trình

 

Chỗ dấu X, hãy giải cụ thể, thay vì chỉ nói "dễ dàng ...": trừ 1đ

Không thử lại: trừ 1đ

$d=8$

$d_{mr}=0;d_{tl}=0;d_{t}=4$

$S=45$

Thưa thầy, bài làm của em không cần thử lại vì thao tác ấy đã được làm trong trường hợp 1 rồi ạ

Mong thầy xem lại :)



#48 nguyenqn1998

nguyenqn1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10T-Chuyên Lê Quý đôn-Bình định
  • Sở thích:iqn

Đã gửi 21-01-2014 - 15:01

Do x,y là các số nguyên nên $\sqrt{y+1}$ là số nguyên

$=>z=\sqrt{y+1}$(*)

Do $y\geq 0 => z\geq 1$

$(*)=>y=z^2-1$

thế vào pt đầu 

=> $x^2=z^4-2z^2+z+1$

mà $(z^2-1)^2 < x^2$(do $z>0$)

và $-2z^2+z+1=z(1-z)-z^2+1\leq 0$ do ($z\geq1$)

=> $(z^2-1)^2< x^2 \leq z^4$

=> $x=z^2$

=> $(z-1)(z^3+z^2-2z^2-1)=0$

=> $z=1$ (do z nguyên)

=> $x=1;y=0$

vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất $(x,y)=(1,0)$

 

Không thử lại: trừ 1đ
Quên đặt điều kiện $z$ ban đầu: trừ 0,5đ.

Tại sao lại có dòng này?

Trừ 0,5đ

$d=8$

$d_{mr}=0;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=40$

thầy ơi em đã ghi điều kiện ở đây rồi mà? Do $y\geq 0 => z\geq 1$

và từ => $x^2=z^4-2z^2+z+1$

=> $x=z^2$

=> $(z-1)(z^3+z^2-2z^2-1)=0$ ????
mong thầy xem xét lại ạ
 

 



#49 TRONG TAI

TRONG TAI

    Trọng tài MO2014

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-01-2014 - 18:11

Thưa thầy, bài làm của em không cần thử lại vì thao tác ấy đã được làm trong trường hợp 1 rồi ạ

Mong thầy xem lại :)

Anh xin lỗi, đã xem xét lại cho em.

 

thầy ơi em đã ghi điều kiện ở đây rồi mà? Do $y\geq 0 => z\geq 1$

và từ => $x^2=z^4-2z^2+z+1$

=> $x=z^2$

=> $(z-1)(z^3+z^2-2z^2-1)=0$ ????
mong thầy xem xét lại ạ

Vấn đề là chỗ em "ĐẶT $z=\sqrt{y+1}$" hay "suy ra $z=\sqrt{y+1}$?? 2 mệnh đề rất khác nhau, em dùng sai, làm lủng củng ý tứ. Anh cho qua lần này. Sẽ không có lần sau.

Còn từ $x=z^2$, em sẽ có là $z^4=x^2=z^2-2z^2+z+1 \Rightarrow 2z^2-z-1=0$. Chứ anh không hiểu tại sao em lại tách ra 2 nhân tử như thế kia? Đấy là 1 cái khó hiểu, và thậm chí em còn chưa chứng minh $z^3+z^2-2z^2-1=0$ vô nghiệm nguyên $z \ge 1$. Nên sẽ bị trừ 0,5đ cho chỗ này. Điểm em vẫn không đổi.

 

Đã cập nhật lại bảng điểm. Các toán thủ khác hãy tranh thủ coi lại chấm điểm và khiếu nại kịp thời.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 21-01-2014 - 18:14

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại:
http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...

#50 TrungNhan

TrungNhan

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 22-01-2014 - 18:32

cách khác:

ta xét $y>0$ => $\sqrt{y+1}<2y+1$ => $y^2<y^2+\sqrt{y+1}<(y+1)^2$ => $y^2+\sqrt{y+1}$ không chính phương.

=> $x^2=y^2+\sqrt{y+1}$ (*) vô nghiệm.

Suy ra để (*) có nghiệm ta cần có $y=0$, thế vào (*) => $x=1$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1, y=0$.

 

Không thử lại nghiệm: trừ 1đ

$d=9$

$d_{mr}=10;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=48$

Bài của em đâu cần thử lại đâu Thầy, vì chỉ còn trường hợp $y=0$ thế vào ta tính duy nhất $x=1$ (em nghĩ điều này chính là thế vào rồi)

Mong Thầy xem lại. Em cảm ơn Thầy.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrungNhan: 22-01-2014 - 18:33


#51 TRONG TAI

TRONG TAI

    Trọng tài MO2014

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-01-2014 - 19:56

Bài của em đâu cần thử lại đâu Thầy, vì chỉ còn trường hợp $y=0$ thế vào ta tính duy nhất $x=1$ (em nghĩ điều này chính là thế vào rồi)

Mong Thầy xem lại. Em cảm ơn Thầy.

Về nguyên tắc, khi làm bằng cách suy ra thì đều phải thử lại.


1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại:
http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...

#52 TRONG TAI

TRONG TAI

    Trọng tài MO2014

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-01-2014 - 14:17

Thời gian khiếu nại đã hết. Trận 1 kết thúc tại đây.

Tổng hợp điểm mời mọi người sang xem ở link sau:

http://diendantoanho...-2014/?p=478594


1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại:
http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...

#53 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3329 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-07-2014 - 21:52

Xin lỗi! - Đề bài này quá "lởm" cho một cuộc thi MO!


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh