Đến nội dung

Hình ảnh

Trận 1 - Số học

mo 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 52 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Vào hồi 20h30, Thứ Bảy, ngày 11/1/2014, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.
 

 

 

 

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.


Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi LATEX trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

 

 
Để sử dụng chức năng xem trước, bạn click vào Sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ và chọn Xem trước.

 


BTC lưu ý: Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

 

Do trận đấu diễn ra chậm 1 ngày nên sẽ kết thúc vào hồi 0h30 ngày 14/01


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Tìm các số nguyên không âm $x, y$ thỏa mãn đẳng thức.

$$x^2= y^2 + \sqrt{y+1}$$

Toán thủ ra đề VodichIMO


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết

Bài làm :

Nếu $y =0 \Rightarrow x=1$

Nếu $y \geq 1$. Ta có $x > y$

Mặt khác $x^2 =y^2 +\sqrt{y+1} < y^2 +2y +1 =(y+1)^2$ ( Do $y+1 <(2y+1)^2 \forall y \geq 1$ )

$\Rightarrow y^2 < x^2  < (y+1)^2$ . Khi đó phương trình vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình là $(x,y) =(1,0)$

 

Không thử lại: trừ 1đ

$d=9$

$d_{mr}=0; d_{t}=0; d_{tl}=0$

$S=44$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 19-01-2014 - 22:56


#4
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Tìm các số nguyên không âm $x, y$ thỏa mãn đẳng thức.

$$x^2= y^2 + \sqrt{y+1}$$

Toán thủ ra đề VodichIMO

Bài làm của toán thủ MO10-LNH

Ta có:

$x^2=y^2+\sqrt{y+1}$

Vì vế trái là số nguyên, $y^2$ là số nguyên nên $\sqrt{y+1}$ là số nguyên

Đặt $y=y_1^2-1$ ($y_1 \geq 1$)

Phương trình tương đương với:

$x^2=y_1^4-2y_1^2+y_1+1$

Xét 2 trường hợp:

TH1: $y_1=1$

Khi đó $x^2=1$, suy ra $x=1$, $y=0$ là nghiệm của phương trình.

TH2: $y_1>1$

Suy ra $-2y_1^2+y_1+1<0$ (Dễ dàng CM bằng việc giải bất phương trình) X

Từ đây, ta có:

$y_1^4>x^2>\left ( y_1^2-1 \right )^2$

Mà $y_1^4$ và $\left ( y_1^2-1 \right )^2$ là hai số chính phương liên tiếp, nên ta không tìm được $x$ thoả mãn

Vậy $x=1$, $y=0$ là nghiệm nguyên không âm của phương trình

 

Chỗ dấu X, hãy giải cụ thể, thay vì chỉ nói "dễ dàng ...": trừ 1đ

$d=9$

$d_{mr}=0;d_{tl}=0;d_{t}=4$

$S=48$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 21-01-2014 - 18:04


#5
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Em k cố ý spam nhưng thầy Thế chắc có sự nhầm lẫn khi đăng bài như thê này. Có thể 1 vài ng có thể thấy như em . Mong thầy xem xét

File gửi kèm

  • File gửi kèm  e.JPG   16.61K   13 Số lần tải

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#6
maitienluat

maitienluat

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết

Ta có 

$$ x^2 = y^2 + \sqrt{y+1} \Leftrightarrow x^2 - y^2 = \sqrt {y+1}$$

Do vế trái là số nguyên nên vế phải cũng là số nguyên $\Rightarrow y= k^2-1 , k \in \mathbb{N}, k \geq 1$

Thế lại vào phương trình ta được 

$$ x^2 = (k^2-1)^2 + k = k^4 - 2k^2 + k + 1$$

Do $k \geq 1$ nên $2k^2 \geq k + 1$

$$ \Rightarrow (k^2-1)^2 < x^2 = k^4 - 2k^2 + k + 1 \leq k^4$$

$$\Rightarrow 2k^2 = k+1 \Rightarrow k=1$$

Khi đó ta có $y = k^2 -1 = 0$ và $x^2=1 \Rightarrow x=1$

Thử lại thấy $(x;y) = (1;0)$ thoả đề.

Kết luận : $(x,y) = (1,0)$

 

$\Rightarrow 2k^2 = k+1 \Rightarrow k=1$

Chỗ này hãy viết rõ hơn như sau: $\Rightarrow x^2=k^4 \Rightarrow 2k^2 = k+1 \Rightarrow k=1$: trừ 0,5đ

$d=9,5$

$d_{mr}=0;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=45,5$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 19-01-2014 - 23:19


#7
thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Tìm các số nguyên không âm $x, y$ thỏa mãn đẳng thức.

$$x^2= y^2 + \sqrt{y+1}$$

Toán thủ ra đề VodichIMO

Xem phương trình $x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}$ với x,y thuộc Z*

* Với y=0 => $x^{2}=1$, x$\in$Z* =>x=1

*Với y $\geq 1$ =>x$\geq 3$

Ta có $x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}\Leftrightarrow \left ( x+y \right )^{2}\left ( x-y \right )^{2}=y+1$

suy ra: y+1 chia hết cho x+y, vô lý.( vì x+y>y+1, x$\geq 3$)

Do đó các số nguyên không âm phải tìm là x=1 và y=0

 

Không thử lại: trừ 1đ

Lầm lẫn giữa $Z^*$ và tập số nguyên không âm: trừ 0,5đ

Ngay chỗ này

$x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}\Leftrightarrow \left ( x+y \right )^{2}\left ( x-y \right )^{2}=y+1$

Là sai về mặt kiến thức. Vì không đặt điều kiện $x>y$ nên chỉ có thể dùng $\Rightarrow$. Trừ 0,5đ.

Chú ý rằng

Với y $\geq 1$ =>x$\geq 3$

Ở đây, chỉ có thể suy ra $x \ge 2$. Và đó cũng đủ để làm tiếp phần sau. Trừ 1đ (đúng ra là nhiều hơn)

$d=7$

$d_{mr}=0;d_{tl}=1;d_{t}=2$

$S=41$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 19-01-2014 - 23:14

:lol:Thuận :lol:

#8
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết

Tìm các số nguyên không âm $x, y$ thỏa mãn đẳng thức.

$$x^2= y^2 + \sqrt{y+1}$$

Toán thủ ra đề VodichIMO

$$x^2= y^2 + \sqrt{y+1}$$

Điều kiện:$y+1\geq 0\Leftrightarrow y\geq -1$

$\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}=\sqrt{y+1} (1)$

Xét y=-1, thay vào (1) ta được $x^{2}=1$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x=1 & \\
x=-1 &
\end{bmatrix}$

Xét y=0, thay vào (1) ta được $x^{2}=1$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x=1 & \\
x=-1 &
\end{bmatrix}$

Xét $y\geq 1\Rightarrow y+1\geq \sqrt{y+1}$ (do $(y+1)^{2}-(y+1)=(y+1)y\geq 0$ đúng)

$x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}\leq y^{2}+y+1 < (y+1)^{2}$ với mọi $x,y\in \mathbb{Z}$ (*)

Từ (1) ta có $x^{2}-y^{2}=\sqrt{y+1}> 0 ( y\geq 1)\Leftrightarrow x^{2}> y^{2}$

(*) và (**) suy ra $y^{2}< x^{2}< (y+1)^{2}$ (loại)

Vậy ta có các cặp nghệm (x;y)=$(-1;1);(-1;-1);(1;0);(-1;0)$

 

Không thử lại, kết luận dư nghiệm: trừ 1,5đ

Chỗ này

$x^{2}-y^{2}=\sqrt{y+1}> 0 ( y\geq 1)\Leftrightarrow x^{2}> y^{2}$

Sai về mặt logic. Chỉ có thể dùng $\Rightarrow$. Trừ 0,5đ

$d=8$

$d_{mr}=0;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=41$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 19-01-2014 - 23:16


#9
19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết
 

Tìm các số nguyên không âm $x, y$ thỏa mãn đẳng thức.

$$x^2= y^2 + \sqrt{y+1}$$

Toán thủ ra đề VodichIMO

Tuy không phải là toán thủ MO nhưng em vẫn muốn trình bày cách của mình mong mọi người góp ý

Đặt $\sqrt{y+1}=t$ $(t\geq 1)$

từ pt đầu ta có$\sqrt{y+1}=t=(x^2-y^2)\epsilon \mathbb{Z}$  

do đó pt trở thành pt nghiệm nguyên ko âm mới 

$x^2=t^4-2t^2+t+1(*)$ 

ta có $(t^2-1)^2<t^4-2t^2+t+1\leq t^4$ do $t>0$ và $-2t^2+t+1\leq 0\forall t\geq 1$

suy ra $(t^2-1)^2<x^2\leq t^4\Rightarrow x=t^2$ (tính chất của các số chính phương liên tiếp)

thay vào $(*)$ ta dc $2t^2-t-1=0\Rightarrow t=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=0 & & \\ x=1 & & \end{matrix}\right.$

thay vào pt ban đầu thấy tm 

vậy các số $(x;y)$ tm đẳng thức là $(1;0)$

 

Không bao giờ viết tắt trong bài giải, trừ một số chữ được quy định trong SGK.

Chứng minh cụ thể điều này vì nó không phải là điều hiển nhiên

$-2t^2+t+1\leq 0\forall t\geq 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 19-01-2014 - 23:18


#10
dinhthanhhung

dinhthanhhung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

Lời giải :

 

Do $y$ là số nguyên không âm nên : $y^2+\sqrt{y+1}\leq (y+1)^2\Leftrightarrow 4y^2+2y\geq 0$ (*) đúng 

Vì vậy : $x^2\leq (y+1)^2$

Dễ thấy $x^2> y^2$

Kết hợp hai điều trên , ta có $x^2=(y+1)^2$ ; đồng thời (*) xảy ra dấu bằng nên $y=0$ , từ đó $x=1$

Kết luận : $(x,y)=(1,0)$

 

Tại sao "dễ thấy"? Hãy chứng minh. Trừ 1đ.

Không thử lại: trừ 1đ.

$d=8$

$d_{mr}=4;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=44$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 19-01-2014 - 23:22


#11
nguyenqn1998

nguyenqn1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết

Do x,y là các số nguyên nên $\sqrt{y+1}$ là số nguyên

$=>z=\sqrt{y+1}$(*)

Do $y\geq 0 => z\geq 1$

$(*)=>y=z^2-1$

thế vào pt đầu 

=> $x^2=z^4-2z^2+z+1$

mà $(z^2-1)^2 < x^2$(do $z>0$)

và $-2z^2+z+1=z(1-z)-z^2+1\leq 0$ do ($z\geq1$)

=> $(z^2-1)^2< x^2 \leq z^4$

=> $x=z^2$

=> $(z-1)(z^3+z^2-2z^2-1)=0$

=> $z=1$ (do z nguyên)

=> $x=1;y=0$

vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất $(x,y)=(1,0)$

 

Không thử lại: trừ 1đ
Quên đặt điều kiện $z$ ban đầu.

Tại sao lại có dòng này?

=> $(z-1)(z^3+z^2-2z^2-1)=0$

Trừ 1đ

$d=8$

$d_{mr}=0;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=40$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 21-01-2014 - 18:12


#12
gk25dtm

gk25dtm

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Tìm các số nguyên không âm $x, y$ thỏa mãn đẳng thức.

$$x^2= y^2 + \sqrt{y+1}(1)$$ 

Toán thủ ra đề VodichIMO

$x,y\geq 0$ $\Rightarrow $ với mọi $x\leq y$ , $VT (1) \leq y^{2} < VP (1)$ . Phương trình vô nghiệm

Vậy $x \geq y+1$

$\Rightarrow VT (1) \geq y^{2} +2y +1 $

$(1)\Rightarrow 2y+1 \leq \sqrt{y+1}$

$\Rightarrow 4y^{2} +4y +1 \leq y+1$

$\Rightarrow 4y^{2} +3y \leq 0$

Dấu đẳng thức xảy ra $\Rightarrow y=0$ ( vì $y \geq 0$) ;$ x= y+1 $ hay $ x=1 ; y=0$

 

Vậy nghiệm cần tìm $(x;y) = (1;0)$

 

Không thử lại: trừ 1đ

$d=9$

$d_{mr}=0;d_{tl}=1;d_{t}=0$

$S=44$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 19-01-2014 - 23:28


#13
hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết

Với $y=0$ thì $x=1$

Xét $y>0$

 Dễ thấy với $y>0$ thì $\sqrt{y+1} \le 2y+1$

        Đẳng thức không xảy ra do $y>0$

Khi đó, từ giả thiết ta có:

  $y^2< x^2 < (y+1)^2$

suy ra: Phương trình vô nghiệm tại $y>0$

 

Kết luận:
Phương trình có nghiệm duy nhất là $(x;y)=(1;0)$

 

Tại sao lại "dễ thấy"? Hãy chứng minh. Trừ 1đ.

Câu sau là vô nghĩa

Phương trình vô nghiệm tại $y>0$

Không được dùng chữ "tại" mà chỉ cần dùng chữ "với".

Không thử lại: trừ 1đ.

Mở rộng tốt nhưng chứng minh đầy đủ.

$d=8$

$d_{mr}=8;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=48$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 14:57


#14
davidsilva98

davidsilva98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết

Đặt $\sqrt{y+1}=t$ $(t\geq 1)$ => $y=t^{2}-1$

Phương trình trở thành:

$x^{2}=(t^{2}-1)^{2}+t$ $<=> x^{2}= t^{4}-2t^{2}+t+1$

*CM: $(t^{2}-1)^{2}< t^{4}-2t^{2}+t+1 <=> t> 0$ ( đúng )

*CM: $t^{4}-2t^{2}+t+1\leq (t^{2})^{2} <=> 2t^{2}-t-1\geq 0 <=> (t-1)(2t+1)\geq 0$ (đúng do $t\geq 1$ )

Kết hợp hai chứng minh trên ta được: $(t^{2}-1)^{2}< t^{4}-2t^{2}+t+1\leq (t^{2})^{2}$

<=> $(t^{2}-1)^{2}< x^{2}\leq (t^{2})^{2}$. Mà $x^{2}$ là số chính phương nên $x^{2}=(t^{2})^{2}<=> t^{4}-2t^{2}+t+1=(t^{2})^{2} <=> t=1 <=> y=0<=>x=1$

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là: (x;y)={(1;0)}

 

Không thử lại: trừ 1đ

$d=9$

$d_{mr}=0;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=43$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 15:09


#15
dinhthanhhung

dinhthanhhung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

Mở rộng bài toán :

 

Tìm các số nguyên không âm $x,y$ thỏa mãn :

$x^n=y^n+\sqrt[k]{y+1}$ trong đó $n$ thuộc $\mathbb{N}^*,n>1$ , $0\leq k\leq 1$

Hướng giải : Ta chứng minh được $y^n<x^n\leq (y+1)^n$ 

 

$k \ge 2$ thì đúng hơn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 22:00


#16
Twisted Fate

Twisted Fate

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

$x^2=y^2+\sqrt{y+1}$ $(1)$ 

Do $x,y \in N \Rightarrow x^2-y^2 \in N (\sqrt{y+1} \geq 0) \Rightarrow \sqrt{y+1} \in N$

Đặt $\sqrt{y+1}=a (a \in N^*) \Rightarrow y=a^2-1$. 

$(1) \Leftrightarrow x^2=a^4-2a^2+a+1 (x,a \in N,a\geq 1)$

Mặt khác, với $a>1  \Rightarrow (a^2-1)^2<a^4-2a^2+a+1<a^4$ (Do $a>0$ và $-2a^2+a+1=(1-a)(2a+1)<0$) hay $\nexists x \in N$

$\Rightarrow a=1 \Rightarrow y=0;x=1$

Vậy nghiệm duy nhất phương trình  $(x;y)=(1;0)$

 

Không thử lại: trừ 1đ

$d=9$

$d_{mr}=0;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=43$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 15:36


#17
hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết

Mở rộng 1:

Tìm các số nguyên $x,y$ không âm thoả mãn: $x^n=y^n+\sqrt{y+1}$ ($n\in N: n \ge 2$)

Giải:

Với $y=0$ thì $x=1$

Với $y>0$ thì

  dễ thấy $y^n+\sqrt{y+1} < (y+1)^n$

Do đó, từ giả thiết ta thu được:

  $y^n < x^n < (y+1)^n$

Suy ra: phương trình vô nghiệm.

 

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất:

  $(x,y)=(1,0)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 15:37


#18
PTKBLYT9C1213

PTKBLYT9C1213

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

Bài làm của MO26: Phan Trung Kiên

 

Ta có: 

$x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}> y^{2}$ do $\sqrt{y+1}> 0$ với mọi $y$ nguyên không âm         (1)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số nguyên không âm $y+1$ và $1$ ta có:

         $\frac{y+1+1}{2}\geq \sqrt{y+1}\Leftrightarrow \frac{y}{2}+1\geq \sqrt{y+1}$

Nên $x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}\leq y^{2}+\frac{y}{2}+1$

Mà $\frac{y}{2}\leq 2y$ với $\forall y$

$\Rightarrow y^{2}+\sqrt{y+1}\leq y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}\Leftrightarrow x^{2}\leq (y+1)^{2}$          (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow y^{2}< x^{2}\leq (y+1)^{2}$

Vì $x,y$ là các số nguyên không âm nên $x^{2}=(y+1)^{2}$  (*)

Thay (*) vào đẳng thức đã cho ta được:

$(y+1)^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}$

$\Leftrightarrow y^{2}+2y+1=y^{2}+\sqrt{y+1}$

$\Leftrightarrow 2y+1=\sqrt{y+1}$

$\Leftrightarrow 4y^{2}+4y+1=y+1$

$\Leftrightarrow 4y^{2}+3y=0$

$\Leftrightarrow y=0$ hoặc $y=-\frac{3}{4}$  (loại)

$\Rightarrow x=1$

Vậy bộ số $(x;y)$ thõa mãn là $(1;0)$

 

Không thử lại: trừ 1đ.

Mệnh đề không rõ ràng:

Mà $\frac{y}{2}\leq 2y$ với $\forall y$

Cụ thể phải là $\forall y \ge 0$.

Mở rộng 1 thiếu nghiệm nên bị trừ 6đ.

$d=9$

$d_{mr}=16;d_{tl}=3;d_{t}=0$

$S=62$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 15:49

                      THE SHORTEST ANSWER IS DOING 

                        :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  

 


#19
ngoctruong236

ngoctruong236

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết

$y =0 \Rightarrow x=1 $

Xét $ y \geq 1$

Ta có $x \geq y$ mà $x^2 =y^2 +\sqrt{y+1} \leq y^2 +2y +1 =(y+1)^2$ \Rightarrow y^2$

 

Bài làm chưa hoàn chỉnh.

$d=1$

$S=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 16:10


#20
PTKBLYT9C1213

PTKBLYT9C1213

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

Mở rộng 1:

Thay đổi giả thiết x,y là các số nguyên không âm thành x,y là các số nguyên.

Với cách giải tương tự (chú ý điều kiện $y\geq -1$ ) ta vẫn thu được nghiệm (x, y) = (1, 0)

Mở rộng 2:

Tìm các số nguyên không âm thõa mãn đẳng thức:

                      $x^{2}=y^{2}+\sqrt[n]{y+1}$     $(n\in N,n\geq 2)$

Giải:

Ta có: $x^{2}=y^{2}+\sqrt[n]{y+1}> y^{2}$ do $\sqrt[n]{y+1}> 0$ với $y$ nguyên không âm

$x^{2}=y^{2}+\sqrt[n]{y+1}\leq y^{2}+\frac{y+n}{n}=y^{2}+\frac{y}{n}+1$ (bất đẳng thức AM-GM cho n số)

                                         $\leq y^{2}+\frac{y}{2}+1\leq y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}$

$\Rightarrow y^{2}< x^{2}\leq (y+1)^{2}$

$\Rightarrow x^{2}=(y+1)^{2}$

Thay vào đẳng thức ta tìm được $(x,y)=(1,0)$


                      THE SHORTEST ANSWER IS DOING 

                        :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: mo 2014

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh