Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

Tính giá trị nhỏ nhất của tổng $S=\frac{a}{z}+\frac{b}{x}+\frac{c}{y}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 ocean99

ocean99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Giang
  • Sở thích:English

Đã gửi 13-01-2014 - 22:45

Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp (O). Gọi BC=a,AB=c,AC=b. Từ 1 điểm N trên cung BC (N và A khác phía đối với BC) kẻ NK,NL,NM lần lượt vuông góc với BC,CA,AB. Gọi độ dài các đoạn NK,NL,NM lần lượt là x,y,z.Tính giá trị nhỏ nhất của tổng $S=\frac{a}{z}+\frac{b}{x}+\frac{c}{y}$

 



#2 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Homles,Conan

Đã gửi 06-11-2015 - 20:22

Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp (O). Gọi BC=a,AB=c,AC=b. Từ 1 điểm N trên cung BC (N và A khác phía đối với BC) kẻ NK,NL,NM lần lượt vuông góc với BC,CA,AB. Gọi độ dài các đoạn NK,NL,NM lần lượt là x,y,z.Tính giá trị nhỏ nhất của tổng $S=\frac{a}{z}+\frac{b}{x}+\frac{c}{y}$

Mình nghĩ nếu đề đổi lại thành tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $S=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}$ hoặc là $NL,NM,NK$ lần lượt vuông góc với $BC,CA,AB$ thì bài toán sẽ đơn giản hơn nhiều 

Nếu đề đổi như vậy thì mình giải như sau 

vmf hình 4.JPG

Nhận thấy nếu $L$ nằm ngoài $(O)$ thì $M$ nằm trong $(O)$

Suy ra $\frac{AB}{MN}=\frac{MB}{MN}+\frac{AM}{MN};\frac{AC}{NL}=\frac{AL}{NL}-\frac{CL}{NL}$

$\left\{\begin{matrix} \Delta NCL\sim \Delta NBM\Rightarrow \frac{CL}{NL}=\frac{BM}{MN} & & \\ \Delta NAL\sim \Delta NBK\Rightarrow \frac{AL}{NL}=\frac{BK}{NK} & & \\ \Delta NAM\sim \Delta NCK\Rightarrow \frac{AM}{MN}=\frac{CK}{NK} & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{BC}{NK}+\frac{AC}{NL}+\frac{AB}{NM}=\frac{BC}{NK}+(\frac{AL}{NL}-\frac{CL}{NL})+(\frac{MB}{MN}+\frac{AM}{MN})=\frac{BC}{NK}+\frac{AL}{NL}+\frac{AM}{MN}=\frac{BC}{NK}+\frac{BK}{NK}+\frac{CK}{NK}=\frac{2BC}{NK}\Rightarrow (\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z})_{min}\Leftrightarrow (\frac{2BC}{NK})_{min}\Leftrightarrow NK_{max}\Leftrightarrow NK=R\Leftrightarrow N$

là điểm chính giữa của cung $BC$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh