Đến nội dung


Hình ảnh

Tính giá trị nhỏ nhất của tổng $S=\frac{a}{z}+\frac{b}{x}+\frac{c}{y}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 ocean99

ocean99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Giang
  • Sở thích:English

Đã gửi 13-01-2014 - 22:45

Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp (O). Gọi BC=a,AB=c,AC=b. Từ 1 điểm N trên cung BC (N và A khác phía đối với BC) kẻ NK,NL,NM lần lượt vuông góc với BC,CA,AB. Gọi độ dài các đoạn NK,NL,NM lần lượt là x,y,z.Tính giá trị nhỏ nhất của tổng $S=\frac{a}{z}+\frac{b}{x}+\frac{c}{y}$

 



#2 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 06-11-2015 - 20:22

Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp (O). Gọi BC=a,AB=c,AC=b. Từ 1 điểm N trên cung BC (N và A khác phía đối với BC) kẻ NK,NL,NM lần lượt vuông góc với BC,CA,AB. Gọi độ dài các đoạn NK,NL,NM lần lượt là x,y,z.Tính giá trị nhỏ nhất của tổng $S=\frac{a}{z}+\frac{b}{x}+\frac{c}{y}$

Mình nghĩ nếu đề đổi lại thành tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $S=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}$ hoặc là $NL,NM,NK$ lần lượt vuông góc với $BC,CA,AB$ thì bài toán sẽ đơn giản hơn nhiều 

Nếu đề đổi như vậy thì mình giải như sau 

vmf hình 4.JPG

Nhận thấy nếu $L$ nằm ngoài $(O)$ thì $M$ nằm trong $(O)$

Suy ra $\frac{AB}{MN}=\frac{MB}{MN}+\frac{AM}{MN};\frac{AC}{NL}=\frac{AL}{NL}-\frac{CL}{NL}$

$\left\{\begin{matrix} \Delta NCL\sim \Delta NBM\Rightarrow \frac{CL}{NL}=\frac{BM}{MN} & & \\ \Delta NAL\sim \Delta NBK\Rightarrow \frac{AL}{NL}=\frac{BK}{NK} & & \\ \Delta NAM\sim \Delta NCK\Rightarrow \frac{AM}{MN}=\frac{CK}{NK} & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{BC}{NK}+\frac{AC}{NL}+\frac{AB}{NM}=\frac{BC}{NK}+(\frac{AL}{NL}-\frac{CL}{NL})+(\frac{MB}{MN}+\frac{AM}{MN})=\frac{BC}{NK}+\frac{AL}{NL}+\frac{AM}{MN}=\frac{BC}{NK}+\frac{BK}{NK}+\frac{CK}{NK}=\frac{2BC}{NK}\Rightarrow (\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z})_{min}\Leftrightarrow (\frac{2BC}{NK})_{min}\Leftrightarrow NK_{max}\Leftrightarrow NK=R\Leftrightarrow N$

là điểm chính giữa của cung $BC$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh