cho a,b,c >0 . CM:
$\sum \frac{a}{b+c}\geq \sum \frac{ a}{ a+b}$
$\sum \frac{a}{b+c}\geq \sum \frac{ a}{ a+b}$
Bắt đầu bởi hoctrocuanewton, 14-01-2014 - 17:51
hà anh
#2
Đã gửi 14-01-2014 - 18:38
pcfamily
-
- Thành viên
-
- 212 Bài viết
Thượng sĩ
cho a,b,c >0 . CM:
$\sum \frac{a}{b+c}\geq \sum \frac{ a}{ a+b}$
* Bổ đề: BĐT hoán vị:
Cho 2 dãy số thực $a_{1}\geq a_{2}\geq a_{1}$ và $b_{1}\geq b_{2}\geq b_{3}$
Ta có bđt: $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\geq a_{1}b_{i_{1}}+a_{2}b_{i_{2}}+a_{3}b_{i_{3}}$
Với $b_{i_{1}},b_{i_{2}},b_{i_{3}}$ là các hoán vị tuỳ ý của $b_{1},b_{2},b_{3}$
Chứng minh: $VT-VP=a_{1}(b_{1}-b_{i_{1}})+a_{2}(b_{2}-b_{i_{2}})+a_{3}(b_{3}-b_{i_{3}})$
$=(a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{i_1})+(a_{2}-a_{3})(b_{1}+b_{2}-b_{i_1}-b_{i_{2}})+a_{3}(b_{1}+b_{2}+b_{3}-b_{i_{1}}-b_{i_{2}}-b_{i_{3}})$
$\geq 0\Rightarrow DPCM$
Trở lại bài toán:
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$
nên $\frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{a+b}$
Áp dụng BĐT hoán vị có ĐPCM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcfamily: 14-01-2014 - 18:39
- tienthcsln và hoctrocuanewton thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hà anh
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
