Chủ đề này có 6 trả lời

[SPhuThuyS]

Cho a,b,c> o thoả mãn: a+b+c= ab+bc+ca

CMR:$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\leqslant \frac{3}{2}$

[zzhanamjchjzz]

bạn thử xem lại cái CMR thữ xem có ghi nhầm ko

[SPhuThuyS]

bạn thử xem lại cái CMR thữ xem có ghi nhầm ko

mình thử bằng máy tinh rồi, đề không sai đâu

[badatmath]

Đặt $p=a+b+c$ , $q=ab+bc+ca$ và $r=a.b.c$,
Từ BĐT ban đầu ta quy đồng vế trái lên, sẽ đưa về được :
$\frac{p^2+q}{p.q-r}\leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 2p^2+2q\leq 3pq-3r$
$\Leftrightarrow p^2-2p-3r\geqslant 0$ ( Vì $p=q$ )
Ta có :$-r\geq -\frac{p.q}{9}=-\frac{p^2}{9}$ 
Nên $p^2-2p-3r\geq p^2-2p-\frac{p^2}{3}$
Ta cần chứng minh $p^2-2p-\frac{p^2}{3}\geq 0$ hay $p.(p-3)\geq 0$ (1)
Từ giả thiết $p=q \Rightarrow p=q\leq \frac{p^2}{3}$ 
$\Rightarrow p\geq 3$  (2) 
Từ (2) suy ra (1) đúng
Vậy BĐT được chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badatmath: 16-01-2014 - 17:09

[nguyenqn1998]

Đặt $p=a+b+c$ , $q=ab+bc+ca$ và $r=a.b.c$,
Từ BĐT ban đầu ta quy đồng vế trái lên, sẽ đưa về được :
$\frac{p^2+q}{p.q-r}\leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 2p^2+2q\leq 3pq-3r$
$\Leftrightarrow p^2-2p-3r\geq p^2-2p-\frac{p^2}{3}\geqslant 0$ ( Vì $p=q$ )
Ta có :$r\geq \frac{p.q}{9}=\frac{p^2}{9}$ 
Nên $p^2-2p-3r\geq p^2-2p-\frac{p^2}{3}$
Ta cần chứng minh $p^2-2p-\frac{p^2}{3}\geq 0$ hay $p.(p-3)\geq 0$ (1)
Từ giả thiết $p=q \Rightarrow p=q\leq \frac{p^2}{3}$ 
$\Rightarrow p\geq 3$  (2) 
Từ (2) suy ra (1) đúng
Vậy BĐT được chứng minh

chỗ này ngược dấu rồi bạn

[badatmath]

chỗ này ngược dấu rồi bạn

Ừ đúng rồi, mình nhầm tí, mình edit lại rồi 

[Nguyenhuyen_AG]

Cho a,b,c> o thoả mãn: a+b+c= ab+bc+ca

CMR:$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\leqslant \frac{3}{2}$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại dưới dạng thuần nhất là

\[\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\leqslant \frac{3}{2}\cdot \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}.\]

Chú ý rằng 

\[\frac{ab+bc+ca}{a+b}=\frac{c(a+b)+ab}{a+b}=c+\frac{ab}{a+b},\]

nên bất đẳng thức được rút gọn lại nhưu sau

\[\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a} \le \frac{a+b+c}{2}.\]

Bất đẳng thức này đúng theo bất đẳng thức cơ bản $(x+y)^2 \ge 4xy.$

 

Ngoài ra bài toán còn được chứng minh bằng cách sử dụng hai đánh giá quen thuộc $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)$ và $(a+b)(b+c)(c+a) \ge \frac{8}{9}\cdot (a+b+c)(ab+bc+ca).$

 

Từ bài này ta suy ra được bất đẳng thức khá hay sau đây (nếu mình nhớ đúng đề :v)

 

\[\frac{1}{a+b+2}+\frac{1}{b+c+2}+\frac{1}{c+a+2}\leqslant \frac{3}{4},\]

với $a,\;b,\;c$ cùng điều kiện trên và $ab+bc+ca=3.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 17-01-2014 - 01:35