Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $\sum \frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}$

nam a13 11 vui tết

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 16-01-2014 - 16:34

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$

Chứng minh $\sum \frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}$


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 


#2 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 16-01-2014 - 16:52

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$

Chứng minh $\sum \frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}$

Hình như $a,b,c$ là các số thực không âm chứ .Nếu là số dương thì do vai trò đối xứng nhau nên dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$ thì $P=\sum \frac{1}{a+b}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

 Theo bất đẳng thức $I-ran$ có :$\sum \frac{1}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4(\sum ab)}=\frac{9}{4}$

                                                   $\sum \frac{2}{(a+b)(a+c)}=\frac{4(\sum a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{4(\sum a)(\sum ab)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{4(a+b)(b+c)(c+a)+4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=4+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4$(Do thay $1=ab+bc+ac$)

 Cộng theo vế 2 bdt trên $= > \sum \frac{1}{(a+b)^2}+\sum \frac{2}{(a+b)(a+c)}\geq 4+\frac{9}{4}=\frac{25}{2}= > (\sum \frac{1}{a+b})^2\geq \frac{25}{4}= > \sum \frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}$

 Dấu = xảy ra tại $a=0,b=c=1$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: nam, a13, 11, vui, tết

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh