Chủ đề này có 1 trả lời

[VNSTaipro]

Với $a,b,c>0$ thoả $ab+bc+ca=3abc$. Tìm MIN của:

$P=a+b+c-\frac{1}{2}(\sum \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}})$

[banhgaongonngon]

Với $a,b,c>0$ thoả $ab+bc+ca=3abc$. Tìm MIN của:

$P=a+b+c-\frac{1}{2}(\sum \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}})$

 

Bổ đề

 

Với mọi số thực dương $a,b$ ta có

$\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$   $(*)$

 

Chứng minh

 

Ta có

$(*)\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2})^{3}\geq (a+b)^{3}(a^{3}+b^{3})$

$\Leftrightarrow 2(a^{6}+b^{6}+3a^{4}b^{2}+3a^{2}b^{4})\geq (a^{3}+b^{3})(a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2})$

$\Leftrightarrow (a-b)^{4}(a^{2}+ab+b^{2})\geq 0$

 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b$

 

Trở lại bài toán

 

Áp dụng bổ đề trên ta có

$\frac{1}{2}\sum \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$

$=\frac{1}{2}\sum \left ( a+b-\frac{2ab}{a+b} \right )=\sum a-\sum \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$

 

Mặt khác, từ giả thiết $\sum \frac{1}{a}=3$ ta suy ra

$\sum \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geq \frac{9}{2\sum \frac{1}{a}}=\frac{3}{2}$

 

Dẫn tới

$P=\sum a- \frac{1}{2}\sum \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}\geq \frac{3}{2}$

 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 20-01-2014 - 13:03