Cho a,b,c>0 thoả abc=1
Chứng minh rằng : $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a^2+b^2+c^2$
Cho a,b,c>0 thoả abc=1
Chứng minh rằng : $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a^2+b^2+c^2$
ONG NGỰA 97.
áp dụng bđt AM-GM ta có : $\frac{a^{2}}{b}+a^{2}b\geq 2a^{2}$
chứng minh ta có : $\sum \frac{a^{2}}{b}+\sum a^{2}b\geq \sum 2a^{2}$
ta chỉ cần chứng minh : $\sum a^{2}b\leq \sum a^{2}$ (1)
ta có
$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ (2)
giả sử (1) đúng , từ (1)(2) suy ra
$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$
$\Rightarrow \sum a^{3}+\sum ab^{2}\geq 2\sum a^{2}b$ (3)
mà ta có
áp dụng bđt AM-GM
$a^{3}+ ab^{2}\geq 2 a^{2}b$
chứng minh tương tự suy ra (3) đúng
do (3) đúng nên suy ra (1) đúng
vậy được đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 17-01-2014 - 21:38
áp dụng bđt AM-GM ta có : $\frac{a^{2}}{b}+a^{2}b\geq 2a^{2}$
chứng minh ta có : $\sum \frac{a^{2}}{b}+\sum a^{2}b\geq \sum 2a^{2}$
ta chỉ cần chứng minh : $\sum a^{2}b\leq \sum a^{2}$ (1)
ta có
$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ (2)
giả sử (1) đúng , từ (1)(2) suy ra
$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$
$\Rightarrow \sum a^{3}+\sum ab^{2}\geq 2\sum a^{2}b$ (3)
mà ta có
áp dụng bđt AM-GM
$a^{3}+ ab^{2}\geq 2 a^{2}b$
chứng minh tương tự suy ra (3) đúng
do (3) đúng nên suy ra (1) đúng
vậy được đpcm
Cách chứng minh của em là không đúng, pp của em có lẽ là biến đổi tương đương để được bđt đúng nhưng khi nhân (2) với (3) là mệnh đề kéo theo chứ k phải tương đương.
ONG NGỰA 97.
Cho a,b,c>0 thoả abc=1
Chứng minh rằng : $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a^2+b^2+c^2$
Mình làm thế này không biết có đúng không, nhờ các bạn xem giùm.
Ta có:
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=a^{3}c+b^{3}a+c^{3}b$ vì abc=1
Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2} & \\ ab\geq bc\geq ca & \end{matrix}\right.$
Áp dụng BĐT Trê bư sép, ta có:
$3(a^{3}c+b^{3}a+c^{3}b)\geq (ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}.(a^{2}+b^{2}+c^{2})=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leduylinh1998: 17-01-2014 - 22:22
Mình làm thế này không biết có đúng không, nhờ các bạn xem giùm.
Ta có:
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=a^{3}c+b^{3}a+c^{3}b$ vì abc=1
Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2} & \\ ab\geq bc\geq ca & \end{matrix}\right.$
Áp dụng BĐT Trê bư sép, ta có:
$3(a^{3}c+b^{3}a+c^{3}b)\geq (ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}.(a^{2}+b^{2}+c^{2})=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Không đúng vì không thể giả sử $a\geq b\geq c$ vì BĐT trên hoán vị chứ không đối xứng.
ONG NGỰA 97.
Cho $a=2;b=0,01;c=50$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh