Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển HSG cấp tỉnh lần 2


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
pdtienArsFC

pdtienArsFC

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 133 Bài viết

Đề chính thức                                                                                            Thời gian: 120 phút.

Câu 1:

a, Cho 3 số nguyên x,y,z thỏa mãn $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$.

Chứng minh x+y+z chia hết cho 27.

b, Cho 2 số thực dương a,b thỏa mãn: $a^{2010}+b^{2010}=a^{2011}+b^{2011}=a^{2012}+b^{2012}$.

Tính $M=a^{2013}+b^{2013}$.

Câu 2:GPT

a, $4\sqrt{x^3-1}=x^2+4x-2$.

b, $x+y+z=xy-\frac{z^2}{2}=2$.

Câu 3:

a, Cho a+b+c=1. Chứng minh rằng:

$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$.

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=x^2+\frac{1}{x^2+3}+2013$

Câu 4:

Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R), dây BC cố định. Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. EF cắt BC tại G, GA cắt (O;R) tại M.

a, Chứng minh A,M,E,F nội tiếp

b, Chứng minh MH luôn đi qua 1 điểm cố định khi A thay đổi.

c, Tìm vị trí của A để HA+HB+HC đạt MAX.

 

P/s: Đề này em đen chết. Còn câu 4b,c, không biết được đi thi tỉnh ko nữa...

 

 


                           80b68e1e79774daab705a98543684359.0.gif

 


#2
pdtienArsFC

pdtienArsFC

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 133 Bài viết

EM SPAM chút:

Trước khi đi thi 1 ngày, thầy ra cho câu này:

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R), H là trực tâm của tam giác. Chứng minh $HA+HB+HC\leq 3R$.

Vào thi nhìn đề tưởng trúng đề, làm phát câu 4c, cuối cùng hóa ra thầy lừa.

SAO THẦY CÓ THỂ!!!!!!!!!!!!! :angry:  :angry:  :angry:


                           80b68e1e79774daab705a98543684359.0.gif

 


#3
Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

Câu 1:

a. Xét số dư của x, y, z chia cho 3

- Nếu 3 số có cùng số dư khi chia cho 3 thì $x+y+z\vdots 27$ (đpcm)

- Nếu x, y, z chia cho 3 tồn tại 3 số dư khác nhau ( 0; 1; 2 ) $\Rightarrow x+y+z\vdots 3$

Mà VT không chia hết cho 3 => ko thỏa mãn ( loại )

- Nếu có 2 trong 3 số có cùng số dư khi chia cho 3:

$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)\vdots 3$. Mà x + y + z không chia hết cho 3 => ko thỏa mãn ( loại )

Vậy $x+y+z \vdots 27$

b.  ta có:

$a^{2014}+b^{2014}=(a+b)(a^{2013}+b^{2013})-ab(a^{2012}+b^{2012})$

Đặt $a^{2014}+b^{2014}=a^{2013}+b^{2013}=a^{2012}+b^{2012}=k$

$\Leftrightarrow k=(a+b).k-ab.k$

$\Leftrightarrow(a-1)(1-b)=0$

a = b = 1 => M = 2


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 17-01-2014 - 19:04


#4
nam8298

nam8298

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Câu 1 b ; áp dụng Cauch- Schwazt ta có $(a^{2010}+b^{2010})(a^{2012}+b^{2012})\geq (a^{2011}+b^{2011})^{2}$

dấu bằng xảy ra khi a=b =1 nên M =3


Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân


#5
nam8298

nam8298

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Câu 2 :

a, đặt $\sqrt{x^{2}+x+1}=a;\sqrt{x-1}=b$ .Ta có phương trình $a^{2}-4ab +3b^{2}=0\Leftrightarrow (a-b)(a-3b)=0$

giải ra tìm x ,

b,Ta có $xy =2+\frac{z^{2}}{2};x+y =2-z$ mà để phương trình có nghiệm thì $(x+y)^{2}\geq 4xy$

Từ đây tính đc z =-2

thay vào tìm đc x,y


Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân


#6
Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

Câu 3

a. $\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{(a+c)+(b+c)}\leq \frac{ab}{4}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})=\frac{1}{4}.(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c})$

Cm tương tự:

$VT\leq \frac{1}{4}(a+b+c)=\frac{1}{4}$

Dấu = xảy ra khi a = b = c =$\frac{1}{3}$



#7
buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết

Câu 3:a,$\sum \frac{ab}{c+1}=\sum \frac{ab}{(c+a)+(c+b)}\leq \frac{1}{4}\sum \frac{ab}{c+a}+\frac{1}{4}\sum \frac{ab}{c+b}=\frac{1}{4}(a+b+c)=\frac{1}{4}$

          b, Ta có : $x^{2}+\frac{1}{x^{2}+3}=\frac{x^{4}+3x^{2}+1}{x^{2}+3}=\frac{1}{3}+\frac{3x^{4}+8x^{2}}{3(x^{2}+3)}\geqslant \frac{1}{3}$

               Do đó GTNN của A là $2013+\frac{1}{3}$ tại x=0


Đứng dậy và bước tiếp

#8
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Câu 4:

Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R), dây BC cố định. Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. EF cắt BC tại G, GA cắt (O;R) tại M.

a, Chứng minh A,M,E,F nội tiếp

b, Chứng minh MH luôn đi qua 1 điểm cố định khi A thay đổi.

c, Tìm vị trí của A để HA+HB+HC đạt MAX.

 

P/s: Đề này em đen chết. Còn câu 4b,c, không biết được đi thi tỉnh ko nữa...

Câu 4b)

Từ phần a) $\Rightarrow AMHE$ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle AMH=90^{\circ}\Leftrightarrow AM\perp MH$

Kéo dài $MH$ cắt $BC,(O)$ tại $N,N'$$\Rightarrow AN'$ đi qua $O$

ta dễ dàng chứng minh $BHCN'$ là hình bình hành $\Rightarrow N$ là trung điểm $BC$ $const$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh