Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Trận 2 - phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

mhs 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 31 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 17-01-2014 - 19:38

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 17/1/2014, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.
 

 

 

 

II - Lưu ý

1) Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.


Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi LATEX trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

 

 
Để sử dụng chức năng xem trước, bạn click vào Sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ và chọn Xem trước.

 

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

 

3) Sau trận này, 01 toán thủ đứng cuối cùng của bảng xếp hạng sẽ bị loại khỏi giải đấu.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 17-01-2014 - 20:01

Đề bài của BTC

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có $A(2;0), B(4;5)$ và giao của hai đường chéo nằm trên đường thẳng $d:x-y-1=0$. Hãy tìm tọa độ $C,D$


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 18-01-2014 - 19:56

BTC vừa thay đề thi cho phù hợp với tinh thần thi TSĐH của MHS. Thời gian làm bài bắt đầu tính từ 20h00 ngày 18/01


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#4 Niels Henrik Abel edu1998

Niels Henrik Abel edu1998

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 18-01-2014 - 21:06

A(2;0) và B(4;5) suy ra vec tơ AB(2;5)

Giả sử C(a;b) và điểm D(c;d)

Ta có véc tơ DC(a-c;b-d)

Vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên

véc tơ DC= véc tơ AB

tương đương :  a-c=2 và b-d=5

tương đương :  a=c+2 và b=d+5

Hay C(c+2;d+5)

Véc tơ AD(c-2;d)

Mặt khác véc tơ AB vuông góc với véc tơ AD nên

2(c-2)+5d=0

tương đương: 2c+5d=4   (1)

Vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên giao điểm của hai đương chéo là trung điểm của mỗi cạnh nên

O(0,5c+2;0,5d+2,5)

mà O thuộc đương thẳng x-y-1=0 nên

0,5c+2-0,5d-2,5-1=0

tương đương c-d=3         (2)

Giải hệ hai phương trình (1) và (2) ta được

c=19/7 và d=-2/7

Vậy điểm C(33/7;33/7)

                D(19/7;-2/7)

 

Latex của em bị đơ nên không thể dùng và ghi kí hiệu được nên em phải làm thế này mong mọi người thông cảm và bỏ quá cho ạ!

 

Lại lần nữa em không sử dụng $Latex$! Hãy cố gắng làm điều này vì nếu không thì bài làm của em sẽ không được chấm!

$\boxed{Điểm bài:7}$

S = 17+3*7 = 38


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-02-2014 - 08:23
Tổng hợp điểm

Hãy nắm thật chặt, đừng bao giờ buông tay!


#5 19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12a1 THPT Mỹ Đức B Hà Nội
  • Sở thích:nghe nhạc,và lục lọi các bài toán

Đã gửi 18-01-2014 - 21:30

 

Đề bài của BTC

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có $A(2;0), B(4;5)$ và giao của hai đường chéo nằm trên đường thẳng $d:x-y-1=0$. Hãy tìm tọa độ $C,D$

Gọi $E$ là trung điểm của $AB$ suy ra $E(3;\frac{5}{2})$

Gọi $F$ là giao điểm của $2$ đường chéo

Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $FA=FB$ hay tam giác $FAB$ cân tại $F$ suy ra $FE$ vuông góc với $AB$ 

nên phương trình $FE$ là $4x+10y-37=0$

suy ra tọa độ $F$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} x-y-1=0 & & \\ 4x+10y-37=0 & & \end{matrix}\right.$ suy ra $F(\frac{47}{14};\frac{33}{14})$

ta có $F$ là trung điểm của $AC$ và $BD$ nên ta có $C(\frac{33}{7};\frac{33}{7})$ và $D(\frac{19}{7};\frac{-2}{7})$

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là $C(\frac{33}{7};\frac{33}{7})$ và $D(\frac{19}{7};\frac{-2}{7})$

 

 

$\boxed{Điểm: 10}$

S = 17+3*10 + 3= 50


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-02-2014 - 08:35
Tổng hợp điểm


#6 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 18-01-2014 - 21:32

Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$

Dựng $IM$ vuông góc với $AB$, suy ra $M$ là trung điểm của $AB$

                    $\Rightarrow M(3,\frac{5}{2})$

Phương trình đường thẳng $AB$ là $\frac{x-2}{2-4}=\frac{y-0}{0-5}\Leftrightarrow y=\frac{5x}{2}-5\Rightarrow k_{AB}=\frac{5}{2}$

Do $IM$ vuông góc với $AB$ nên $k_{IM}=\frac{-2}{5}$

                $IM : y-\frac{5}{2}=\frac{-2}{5}(x-3)$

Hay $IM : 2x+5y-\frac{37}{2}=0$

Vậy tọa độ $I$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} 2x+5y-\frac{37}{2}=0\\ x-y-1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow I(\frac{47}{14},\frac{33}{14})$

Ta có $\overrightarrow{MI}(\frac{5}{14},\frac{-1}{7})$

Lại có $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MI}\Rightarrow D(\frac{19}{7},\frac{-2}{7})$

Và $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{MI}\Rightarrow C(\frac{33}{7},\frac{33}{7})$

Vậy $\left\{\begin{matrix} C(\frac{33}{7},\frac{33}{7})\\ D(\frac{19}{7},\frac{-2}{7}) \end{matrix}\right.$

 

$\boxed{Điểm: 10}$

S = 16,7+3*10 = 46.7


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-02-2014 - 08:25
Tổng hợp điểm

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#7 chagtraife

chagtraife

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 154 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Diêu_Bình Định

Đã gửi 18-01-2014 - 21:37

Đề bài của BTC

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có $A(2;0), B(4;5)$ và giao của hai đường chéo nằm trên đường thẳng $d:x-y-1=0$. Hãy tìm tọa độ $C,D$

 

giải:

gọi $O(x_o;y_o)$ là giao điểm của $2$ đường chéo hình chữ nhật

 theo giả thiết, giao điểm của $2$ đường chéo nằm trên đường thẳng $d: x-y-1=0$

nên $y_o=x_o-1$

vì $O$ là giao điểm $2$ đường chéo, nên:

$OA=OB$

$\Leftrightarrow OA^2=OB^2$

$\Leftrightarrow (x_o-2)^2+y_o^2=(x_o-4)^2+(y_o-5)^2$

$\Leftrightarrow (x_o-2)^2+(x_o-1)^2=(x_o-4)^2+(x_o-6)^2$

$ \Leftrightarrow x_o=\frac{47}{14}$

suy ra:$y_o=\frac{33}{14}$

$x_C=2x_o-x_A$ ($O$ là trung điểm $AC$)

$=\frac{33}{7}$

$y_C=2y_o-y_A=\frac{33}{7}$

$x_D=2x_o-x_B$ ( $O$ là trung điểm $BD$)

$=\frac{19}{7}$

$y_D=2y_o-y_B=-\frac{2}{7}$

vậy: $C(\frac{33}{7};\frac{33}{7})$

$D(\frac{19}{7};-\frac{2}{7})$

 

$\boxed{Điểm: 10}$

S = 16.7+3*10 = 46.7


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-02-2014 - 08:26
Tổng hợp điểm


#8 diepviennhi

diepviennhi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 318 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-01-2014 - 21:37

Đề bài của BTC

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có $A(2;0), B(4;5)$ và giao của hai đường chéo nằm trên đường thẳng $d:x-y-1=0$. Hãy tìm tọa độ $C,D$

Gọi I là giao của hai đường chéo hình chữ nhật. Thì I là tâm đối xứng của hình chữ nhật. Do tính đối xứng nên I là trung điểm AC và BD

Theo đầu bài $I\in (d): x-y-1=0\rightarrow I(x,x-1)$

Ta có $AC=BD\rightarrow IA=IB\rightarrow IA^{2}=IB^{2}$

Ta có $\overrightarrow{IA}(x-2;x-1),\overrightarrow{IB}(x-4,x-6)\rightarrow (x-2)^{2}+(x-1)^{2}=(x-4)^{2}+(x-6)^{2}\rightarrow 14x=47\rightarrow x=\frac{47}{14}\rightarrow I(\frac{47}{14};\frac{33}{14})$

Do I là trung điểm AC nên từ công thức trung điểm ta có $\left\{\begin{matrix} x_{C}=2x_{I}-x_{A}=2.\frac{47}{14}-2=\frac{33}{7}\\ y_{C}=2y_{I}-y_{A}=2.\frac{33}{14}-0=\frac{33}{7} \end{matrix}\right.\Rightarrow C(\frac{33}{7},\frac{33}{7})$

Do I là trung điểm  BD nên từ công thức trung điểm ta có $\left\{\begin{matrix} x_{D}=2x_{I}-x_{B}=2.\frac{47}{14}-4=\frac{19}{7}\\ y_{D}=2y_{I}-y_{B}=2.\frac{33}{14}-5=\frac{-2}{7} \end{matrix}\right.\Rightarrow D(\frac{19}{7},\frac{-2}{7})$

Vậy ta có $C(\frac{33}{7},\frac{33}{7}),D(\frac{19}{7},\frac{-2}{7})$

P/sHình do em chưa biết vẽ trên diễn đàn nên đành nộp bài không hình ạ. Mong thầy cô thông cảm :icon6: 

 

 

 

$\boxed{Điểm:10}$

S = 16.7+3*10 = 46.7


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-02-2014 - 08:26
Tổng hợp điểm


#9 vipkutepro

vipkutepro

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Đã gửi 18-01-2014 - 21:41

Giao điểm của hai đường chéo là $I$ thuộc đường thẳng $d$ nên gọi $I(t; t - 1)$

$ABCD$ là hình chữ nhật nên $I$ là trung điểm hai đường chéo. Suy ra $C(2t-2;2t-2)$ và $D(2t-4;2t-7)$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(2;5);\overrightarrow{BC}=(2t-6;2t-7)$

$ABCD$ là hình chữ nhật $\Rightarrow$ $AB\perp BC \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0\Leftrightarrow 2.(2t-6)+5.(2t-7)=0\Leftrightarrow t=\frac{47}{14}$

Vậy $C(\frac{33}{7};\frac{33}{7});D(\frac{19}{7};\frac{-2}{7})$

 

$\boxed{Điểm:10}$

 

S = 16.7+3*10 = 46.7


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-02-2014 - 08:27
Tổng hợp điểm


#10 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 18-01-2014 - 21:52

Đề bài của BTC

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có $A(2;0), B(4;5)$ và giao của hai đường chéo nằm trên đường thẳng $d:x-y-1=0$. Hãy tìm tọa độ $C,D$

Gọi $I$, $O$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và giao điểm của hai đường chéo

 

$\Rightarrow I\left ( 3;\frac{5}{2} \right )$

 

Ta có: $IO$ qua $I\left ( 3;\frac{5}{2} \right )$ nhận $\overrightarrow{AB}=(2;5)$ làm vecto pháp tuyến

 

$\Rightarrow  IO:2(x-3)+5\left ( y-\frac{5}{2} \right )=0$   hay  $IO:4x+10y-37=0$

 

Tọa độ giao điểm $O$ là nghiệm của hệ phương trình: 

 

$\left\{\begin{matrix}  4x+10y-37=0 && & \\ x-y-1=0 & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{47}{14} & \\ y=\frac{33}{14} & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow O\left ( \frac{47}{14};\frac{33}{14} \right )$

 

Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $O$ lần lượt là trung điểm $AC$ và $BD$. Do đó: 

 

     $\left\{\begin{matrix}2.\frac{47}{14}=x_C+2 & & \\ 2.\frac{33}{14}=y_C+0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_C=\frac{33}{7} & & \\ y_C=\frac{33}{7} & & \end{matrix}\right. \Rightarrow C\left ( \frac{33}{7};\frac{33}{7} \right )$

 

     $\left\{\begin{matrix}2.\frac{47}{14}=x_D+4 & & \\ 2.\frac{33}{14}=y_D+5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_D=\frac{19}{7} & & \\ y_D=-\frac{2}{7} & & \end{matrix}\right. \Rightarrow D\left ( \frac{19}{7};-\frac{2}{7} \right )$

 

Vậy:     $D\left ( \frac{19}{7};-\frac{2}{7} \right )$

 

            $C\left ( \frac{33}{7};\frac{33}{7} \right )$

 

 

$\boxed{Điểm:10}$

S = 16.7+3*10 = 46.7


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-02-2014 - 08:27
Tổng hợp điểm

Nothing won't change 

 

$\lim_{n\rightarrow \infty }\ln[h(t)]=117771$


#11 motdaica

motdaica

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:toán học,VMO,lịch sử

Đã gửi 18-01-2014 - 22:34

Gọi M là trung điểm AB ,O là tâm hình chữ nhật => OM vuông góc BC

Ta có tọa độ điểm M là : $x_{m}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}$ =3 ;$y_{m}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$ =$\frac{5}{2}$ => $M\(3;\frac{5}{2})$

Phương trình đường thẳng OM qua $M\(3;\frac{5}{2})$ và nhận $\overrightarrow{AB}(2;5)$ làm véc tơ pháp tuyến là :

$2(x-3)+5(y-\frac{5}{2})=0$ => $2x+5y-\frac{37}{2}=0$

Giao điểm 2 đường chéo chính là tâm O của hình chữ nhật nên O là giao của OM và d => tọa độ O là ngiệm của hệ : $\left\{\begin{matrix} x-y-1 & =0\\ 2x+5y-\frac{37}{2}& =0 \end{matrix}\right.$

Giaỉ hệ ta được $x_{O}=\frac{47}{14};y_{O}=\frac{33}{14}$

O là tâm hình chữ nên O là trung điểm AC và BD

ta có 2 hệ là: $\left\{\begin{matrix} x_{O}= &\frac{x_{A}+x_{C}}{2}\\ y_{O} =&\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \end{matrix}\right.$ và$\left\{\begin{matrix} x_{O}= &\frac{x_{B}+x_{D}}{2}\\ y_{O} =&\frac{y_{B}+y_{D}}{2} \end{matrix}\right.$

Lần lượt thay tọa độ của 3 điểm O,A,B ta tìm được tọa độ các điểm còn lại là $C(\frac{33}{7};\frac{33}{7})$ và$D(\frac{19}{7};\frac{-2}{7})$

 

$\boxed{Điểm:10}$

S = 16.3+3*10 +1= 47.3


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-02-2014 - 08:44
Tổng hợp điểm


#12 motdaica

motdaica

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:toán học,VMO,lịch sử

Đã gửi 18-01-2014 - 22:50

Mở rộng :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hình chữ nhật ABCD, biết tọa độ điểm A,B và đường thẳng d đi qua giao điểm 2 đường chéo , tìm tọa độ C,D

Cách giải : Gọi M là trung điểm AB  và O là tâm hình chữ nhật thì tọa độ điểm M được tính theo công thức tọa độ trung điểm và OM vuông góc BC.=>phương trình đường thẳng OM qua M và vuông góc BC.

Giao điểm 2 đường chéo chính là tâm O của hình chữ nhật ,vì vậy O là giao điểm của d và OM=> Tọa độ O xác định

O là tâm hình chữ nhật nên O là trung điểm AC và BD

Từ công thức tọa độ trung điểm của 2 đoạn thẳng  AC và BD với điểm O=>tọa độ điểm C và điểm D

CHÚ Ý :Nếu  $A,B\in d$ thì bài toán không có nghiệm hình

 

Bài này cũng chẳng có mở rộng ra được điều gì cả! Nếu "mở rộng" theo hướng của em thì ít ra cũng ghi ra được tọa độ của điểm C, D theo tọa độ A, B! Không cho điểm!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-02-2014 - 08:29


#13 Tran Hoai Nghia

Tran Hoai Nghia

    UNEXPECTED PLEASURE.

  • Thành viên
  • 431 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tân Phú, TP.HCM
  • Sở thích:Giải toán.

Đã gửi 19-01-2014 - 11:17

Gọi $I$ là giao của hai đường chéo đã cho, vì $I\in d$ $\Rightarrow I(y_{I}+1;y_{I})$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên: 

          $AI^{2}=IB^{2}$

$\Leftrightarrow (y_{I}-1)^{2}+y_{I}^{2}=(y_{I}-3)^{2}+(y_{I}-5)^{2}$

$\Leftrightarrow y_{I}=\frac{33}{14}$

$\Rightarrow I(\frac{47}{14};\frac{33}{14})$

Vì $C$ đối xứng với $A$ qua $I$, ta có:

$\left\{\begin{matrix} x_{C}=2x_{I}-x_{A}=\frac{33}{7} & \\ y_{C}=2y_{I}-y_{A}=\frac{33}{7} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow C(\frac{33}{7};\frac{33}{7})$

Tương tự, $D$ đối xứng với $B$ qua $I$, ta có:

$\Rightarrow C(\frac{19}{7};\frac{-2}{7})$

P/s: cho em ý kiến tý, sao đề dễ thế ạ?

 

$\boxed{Điểm 8,5}$

S = 12.3+3*8.5 = 37.8


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-02-2014 - 08:30
Tổng hợp điểm

SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
https://www.facebook...toanchuyenkhao/


#14 nhatlinh3005

nhatlinh3005

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-01-2014 - 11:31

Gọi M$(x_{M} ; y_{M})$ là trung điểm của AB.

 Khi đó $\left\{\begin{matrix} x_{M}= \frac{1}{2}(x_{A}+x_{B})& & \\ y_{M}= \frac{1}{2}(y_{A}+y_{B})& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{M}= \frac{1}{2}(2+4)& & \\ y_{M}= \frac{1}{2}(0+5) & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{M}= 3& & \\ y_{M}= \frac{5}{2} & & \end{matrix}\right.$

                              Hay M(3;$\frac{5}{2}$).

Ta có: $\overrightarrow{AB}$=(4-2;5-0)=(2;5).

 

Phương trình đường thẳng  $d_{1}$ đi qua M(3;$\frac{5}{2}$) và có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}$=(2;5) là:

2(x-3)+5(y-$\frac{5}{2}$)=0$\Leftrightarrow 4x+10y-37=0$.

( $d_{1}$ cũng là phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB. Nên  theo tính chất của hình chữ nhật thì $I\in (d _{1})$)

     Với  $I$ $(x_{I} ; y_{I})$ là tâm hình chữ nhật ABCD.

$I$ là giao điểm của đường thẳng d và $d_{1}$ nên tọa độ của điểm I thoả hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 4x_{I}+10y_{I}=37& & \\ x_{I}-y_{I}=1& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{I} =\frac{47}{14}& & \\ y _{I}=\frac{33}{14}& & \end{matrix}\right.$

                             Hay $I$$(\frac{47}{14};\frac{33}{14})$

Theo tính chất hình chữ nhật ta có: C đối xứng với A qua $I $ $\Rightarrow C(\frac{33}{7};\frac{33}{7})$

                                                         D đối xứng với B qua $I$ $\Rightarrow D(\frac{19}{7};\frac{-2}{7})$

Vậy:           C$(\frac{33}{7};\frac{33}{7})$

                     D$(\frac{19}{7};\frac{-2}{7})$

 

$\boxed{Điểm: 10}$

S = 12+3*10 = 42


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-02-2014 - 08:31
Tổng hợp điểm

Linh


#15 TonnyMon97

TonnyMon97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kiên giang
  • Sở thích:Vừa nghe nhạc vừa làm bài

Đã gửi 19-01-2014 - 12:24

MHS 021

Giải:

Gọi I là tâm hình chữ nhật.

Vì $I\in (d):x-y-1=0\Rightarrow I(a+1;a)$

Có I là trung điểm AC $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_C=2x_I-x_A=2(a+1)-2=2a & \\y_C=2y_I-y_A=2a-0=2a & \end{matrix}\right.$

I là trung điểm BD $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_D=2x_I-x_B=2(a+1)-4=2a-2 & \\y_D=2y_I-y_B=2a-5 & \end{matrix}\right.$

Lại có $AI^2=BI^2$

$\Leftrightarrow (a-1)^2+a^2=(a-3)^2+(a-5)^2$

$\Leftrightarrow a^2-2a+1+a^2=a^2-6a+9+a^2-10a+25$

$\Leftrightarrow a=\frac{33}{14}$

Vậy $C(\frac{33}{7};\frac{33}{7}); D(\frac{19}{7};\frac{-2}{7})$

 

$\boxed{Điểm: 10}$

S = 12+3*10 = 42


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-02-2014 - 08:32
Tổng hợp điểm

                          "Số nguyên tố là để nhân chứ không phải để cộng."
                                                                                                                       Lev Landau

#16 bunny kizb

bunny kizb

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 19-01-2014 - 14:48

Gọi giao của 2 đường chéo là I. Do I thuộc đt d: x-y-1=0 , gọi  toạ độ điểm I (a+1,a) 
Do ABCD là hình chữ nhật nên IA=IB 

$\Rightarrow (a+1-2)^{2}+a^{2}=(a+1-4)^{2}+(a-5)^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}-2a+1+a^{2}=a^2-6a+9+a^{2}-10a+25$

$\Leftrightarrow a= \frac{33}{14}$

$\Leftrightarrow I (\frac{47}{14};\frac{33}{14})$

ABCD là hình chữ nhật nên I cũng là trung điểm 2 đường chéo
Gọi toạ độ C,D lần luợt là C(x. y), D(x',y')

thì : $\left\{\begin{matrix} x+2=2.\frac{47}{14}\\y+0=2.\frac{33}{14} \end{matrix}\right.$

và   $\left\{\begin{matrix} x'+4=2.\frac{47}{14}\\y'+5=2.\frac{33}{14} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{33}{7}\\y=\frac{33}{7} \end{matrix}\right.$  và $\left\{\begin{matrix} x'=\frac{19}{7}\\y'=\frac{-2}{7} \end{matrix}\right.$

Vậy $C(\frac{33}{7};\frac{33}{7})$ và D$(\frac{19}{7};\frac{-2}{7})$

 

 

$\boxed{Điểm:10}$

S = 11+3*10 = 41


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-02-2014 - 08:33
Tổng hợp điểm


#17 phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tường THPT số 1 Đức Phổ, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi
  • Sở thích:Xem người ta giải toán rồi bắt chước làm theo.

Đã gửi 19-01-2014 - 20:40

Đề bài của BTC

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có $A(2;0), B(4;5)$ và giao của hai đường chéo nằm trên đường thẳng $d:x-y-1=0$. Hãy tìm tọa độ $C,D$

1185386_264024743752875_1855778029_n.jpg

 

Gọi $I$ là giao hai đường chéo của hình chữ nhật $ABCD$; $C\left ( x_{C};y_{C} \right ),D\left ( x_{D};y_{D} \right )$ lần lượt là tọa độ của $C$ và $D$.

Dễ thấy $I$ là trung điểm của $AC$ nên tọa độ $I$ có dạng $I\left ( \frac{x_{C}+2}{2};\frac{y_{C}}{2} \right )$

Vì $I\in \left ( d \right )$ nên: $\frac{x_{C}+2}{2}-\frac{y_{C}}{2}-1=0\Leftrightarrow x_{C}-y_{C}=0$   $\left ( 1 \right )$

Mặt khác, vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên:

$AB\perp BC\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0\Leftrightarrow \left ( 4-2 \right )\left ( x_{C}-4 \right )+\left ( 5-0 \right )\left ( y_{C}-5 \right )=0\Leftrightarrow 2x_{C}+5y_{C}=33\left ( 2 \right )$  

Từ $\left ( 1 \right )$ và $\left ( 2 \right )$, ta có hệ:

$$\left\{\begin{matrix} x_{C}-y_{C}=0\\ 2x_{C}+5y_{C}=33 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{C}=\frac{33}{7}\\ y_{C}=\frac{33}{7} \end{matrix}\right.$$

Ta có:

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{D}-2=\frac{33}{7}-4\\ y_{D}=\frac{33}{7}-5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{D}=\frac{19}{7}\\ y_{D}=-\frac{2}{7} \end{matrix}\right.$

Vậy $C\left ( \frac{33}{7};\frac{33}{7} \right );D\left ( \frac{19}{7};-\frac{2}{7} \right )$

 

 

$\boxed{Điểm:10}$

S = 9+3*10 = 39


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-02-2014 - 08:34
Tổng hợp điểm

  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#18 19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12a1 THPT Mỹ Đức B Hà Nội
  • Sở thích:nghe nhạc,và lục lọi các bài toán

Đã gửi 19-01-2014 - 22:34

Cách 2:

Gọi $O$ là giao điểm 2 đường chéo

$O\epsilon d$ nên giả sử $O(t;t-1)$

do $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$ suy ra $\left\{\begin{matrix} C(2t-2;2t-2) & & \\ D(2t-4;2t-7) & & \end{matrix}\right.$

giải điều kiện $\vec{AB}.\vec{BC}=0$ suy ra $t$ suy ra tọa độ $C$ và $D$

 

Em nên trình bày cụ thể ra chứ!

Điểm 3


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 24-01-2014 - 23:23


#19 THYH

THYH

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 119 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1-THPT Quốc Học Quy Nhơn
  • Sở thích:Ăn - ngủ

Đã gửi 19-01-2014 - 23:03

Gọi :

$I$ là giao điểm 2 đường chéo có tọa độ $(x_I;y_I)$

$H$ là trung điểm $AB$ hay chân đường vuông góc kẻ từ $I$ trong tam giác $AIB$

$\Rightarrow H(3;\frac{5}{2})$ ( vì $H$ là trung điểm $AB$)

Ta có: $\overrightarrow{IH}=(3-x_I;\frac{5}{2}-y_I)$

$\overrightarrow{AB}(2;5)$

mà $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{IH}=\overrightarrow{0}$ (do $AB$ vuông góc $HI$)

nên $4x_I+10y_I=37$ mặt khác $x_I-y_I=1$ ( Do $I$ nằm trên đường thẳng $x-y-1=0$ )

suy ra $I(\frac{47}{14};\frac{33}{14})$

 

Do $I$ là giao điểm 2 đường chéo suy ra $I$ là trung điểm $DB$,$AC$

suy ra $x_D=\frac{19}{7}$ , $y_D=\frac{-2}{7}$

$x_C=\frac{33}{7}$ , $y_C=\frac{33}{7}$

 

$\boxed{Điểm:9,5}$

 

S = 8.3+3*9.5 = 36.8


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-02-2014 - 08:40
Tổng hợp điểm

''math + science = success''


TVT


#20 19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12a1 THPT Mỹ Đức B Hà Nội
  • Sở thích:nghe nhạc,và lục lọi các bài toán

Đã gửi 19-01-2014 - 23:08

Mở rộng: 
Cho $A(2;0)$;$B(4;5)$. Gọi $O$ là giao điểm 2 đường chéo và $O\epsilon d:x-y+m=0$ (trong đó $m\epsilon [a;b]$ với $ (a>\frac{-1}{2})$)
Giả sử $d$ cắt các cạnh của hình chữ nhật tạo ra $2$ phần có diện tích là $S_1$ và $S_2$.
Xác định $m$ để $f(S_1.S_2)$ đạt cực trị ($f$ là đa thức đơn điệu trên $\mathbb{R}$

Giải 

Giả sử $O(t;t+m)$ suy ra $\left\{\begin{matrix} C(2t-2;2t+2m) & & \\ D(2t-4;2t+2m-5) & & \end{matrix}\right.$
giải điều kiện $\vec{AB}.\vec{BC}=0$ suy ra $t=\frac{-37-10m}{14}$ suy ra $O(\frac{37-10m}{14};\frac{37+4m}{14})$
pt $AB$ là $5x-2y-10=0$
+) Nếu $d$ trùng với 2 đường chéo suy ra $S_1=S_2=\frac{S_{ABCD}}{2}=\frac{S}{2}$
+) Nếu $d$ ko trùng vs 2 đường chéo thì $d$ sẽ cắt $2$ cạnh đối diện của hình chữ nhật
do vai trò như nhau nên ta chỉ xét $d$ cắt $AB$ và $CD$
gọi $2$ giao điểm đó lần lượt là $E$ và $F$
ta có $S_1=\frac{(AE+DF).AD}{2}=\frac{AB.AD}{2}$ (tính chất đường trung bình của hình thang)
tương tự ta có $S_2=\frac{AB.AD}{2}$
do đó $S_1=S_2=\frac{S}{2}$
Từ đó suy ra $S_1.S_2=\frac{S^2}{4}$
mà $S>0$ và $f$ là đơn điệu nên $f$ đạt cực trị khi $S$ đạt cực trị
Mặt khác $AB$ không đổi nên $S$ đạt cực trị khi $d(O/AB)$ đạt cực trị
mà $d(O/AB)=\frac{\sqrt{29}(2m+1)}{14}$ (do $m>-0,5$)
suy ra ycbt xảy ra khi $\begin{bmatrix} m=a & & \\ m=b & & \end{bmatrix}$





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh