Chủ đề này có 1 trả lời

[ocean99]

Cho $\Delta ABC$ có R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp .CMR: $\frac{AB+BC+CA}{4}<R+r$

 

[Hoang Tung 126]

Cho $\Delta ABC$ có R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp .CMR: $\frac{AB+BC+CA}{4}<R+r$

Đặt $AB=c,BC=a,CA=b$

Ta có :$R=\frac{abc}{4S}=\frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}},r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a+b+c}$

Đặt $p-a=x,p-b=y,p-c=z= > a=y+z,b=x+z,c=x+y,a+b+c=2(x+y+z)$

BĐT $< = > \frac{\sum x}{2}< \frac{(x+y)(y+z)(x+z)}{4\sqrt{xyz(\sum x)}}+\frac{\sqrt{xyz(\sum x)}}{\sum x}< = > 2(\sum x)^2\sqrt{xyz(\sum x)}\leq (x+y)(y+z)(x+z)+4xyz(\sum x)$

Nhưng bđt này luôn đúng do theo AM-GM có :

  $(x+y)(y+z)(x+z)(\sum x)+4xyz(\sum x)=(\sum x)((x+y)(y+z)(x+z)+4xyz)> (\sum x)((x+y)(y+z)(x+z)+xyz)=(\sum x)(\sum x)(\sum xy)=(\sum x)^2(\sum xy)\geq (\sum x)^2\sqrt{3xyz(\sum x)}=(\sum x)^2.\frac{3}{\sqrt{3}}\sqrt{xyz(\sum x)}> (\sum x)^2.\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{xyz(\sum x)}$