Chủ đề này có 8 trả lời

[letankhang]

                                         THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÂP THÀNH PHỐ
                                                        NĂM HỌC 2013 - 2014
                                                    Ngày 18 tháng 01 năm 2014  
Đề 1 : ( 8h - 9h30 )
Câu 1 :
So sánh $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$ và $\frac{3}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$
Câu 2 : 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng :

$(d_{1}):y=x+2;(d_2)y=\frac{-3}{2}x+\frac{9}{2}$
$(d_1);(d_2)$ cắt trục $Ox$ lần lượt tại $B;C$. Gọi $A$ là giao điểm của $(d_1);(d_2)$. Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho tứ giác $ABCM$ là hình bình hành
Câu 3 :

Cho 3 số $a;b;c$ thỏa : $\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^2+c^2=1 & \\ a^3+b^3+c^3=1 & \end{matrix}\right.$
Tính : $S=a+b^2+c^2$
Câu 4 :

Cho $a+b=1$. Tìm $GTNN$ của $Q=a^3+b^3+ab$
Câu 5 :

Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $AD;BE;CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $D;E;F;M$ cùng thuộc 1 đường tròn.

Đề 2 : ( 10h15 - 11h45 )
Câu 1 :

Cho biểu thức :
$P=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}-4\sqrt{xy}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}$
a) Tìm điều kiện để $P$ có nghĩa ?
b) Khi $P$ có nghĩa, chứng tỏ $P$ khong phụ thuộc vào $x$
Câu 2 :
Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}-3(x+y)+2=0 & \\ x-y-5=0 & \end{matrix}\right.$
Câu 3 :
Biết $ax+by+cz=0$ hãy tính giá trị biểu thức
$P=\frac{bc(y-z)^{2}+ca(z-x)^2+ab(x-y)^{2}}{ax^{2}+by^{2}+cz^{2}}$
Câu 4 :

Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
$\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=y$
Câu 5 :
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ đường kính $AC$. Trên tia $AB$ lấy $D$ sao cho $AD=3AB$. Tia $Dy$ vuong góc với $DC$ tại $D$ cắt tiếp tuyến $Ax$ của đường tròn $(O)$ tại $E$. Chứng minh : $BE=DE$

[kfcchicken98]

câu 4

$3Q=3a^{3}+3b^{3}+3ab=3a^{3}+3b^{3}+3ab(a+b)=2(a^{3}+b^{3})+(a+b)^{3}\geq 2\frac{(a+b)^{3}}{4}+1=\frac{3}{2}$

suy ra Q min=$\frac{1}{2}$

[OnTuQuocDat]

câu 2 đề 2 hơi dễ thì phải $(x+y)^2-3(x+y)+2=0\Leftrightarrow x+y=1\vee x+y=2$

[OnTuQuocDat]

câu 4 ngày 1 cách 2.Q=$a^3+b^3+ab=(a+b)^3-3(a+b)ab+ab=1-2ab$

từ a+b=1$\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}\Rightarrow -2ab\geq \frac{1}{2}$

vậy Q$\geq \frac{1}{2}$      

    

TỰ HÀO LÀ CỰU HS 93 NBK

 

[nguyentrungphuc26041999]

                                         THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÂP THÀNH PHỐ
                                                        NĂM HỌC 2013 - 2014
                                                    Ngày 18 tháng 01 năm 2014  

Câu 3 :

Cho 3 số $a;b;c$ thỏa : $\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^2+c^2=1 & \\ a^3+b^3+c^3=1 & \end{matrix}\right.$
Tính : $S=a+b^2+c^2$

Ta có $1\leq a,b,c\leq -1$

trừ vế với vế của phương trình ta được $a^{2}\left ( 1-a \right )+b^{2}\left ( 1-b \right )+c^{2}\left ( 1-c \right )=0$

mà $1-a\geq 0,1-b\geq 0,1-c\geq 0$

dấu bằng xảy ra 1 trong 3 số bằng 1 

[Phuong Thu Quoc]

Câu phương trình nghiệm nguyên

Để y nguyên thì $\sqrt{x},\sqrt{x+3}$ là những số nguyên

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=a & \\ \sqrt{x+3}=b& \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow b^{2}-a^{2}=3\Rightarrow \left ( b-a \right )\left ( b+a \right )=3\Rightarrow b=2,a=1$

Từ đó giải ra nghiệm $\left ( 1,3 \right )$

[Yagami Raito]

                                         THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÂP THÀNH PHỐ
                                                        NĂM HỌC 2013 - 2014
                                                    Ngày 18 tháng 01 năm 2014  

Câu 5 :

Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $AD;BE;CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $D;E;F;M$ cùng thuộc 1 đường tròn.
 

 

Lời giải : Dễ dàng chứng minh được tứ giác $FBDH$ và $BFEC$ nội tiếp 

$\Rightarrow \angle EFD= \angle EFC+ \angle CFD=\angle EBC +\angle HBC=2\angle EBC=2(90^{\circ}-\angle ACB)=180^{\circ}-2\angle ACB=\angle EMC$

 

$\Rightarrow \angle EFD= \angle EMC$

$\Rightarrow$ tứ giác $EFDM$ nội tiếp (Q.E.D)

[yeutoan2604]

                                         THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÂP THÀNH PHỐ
                                                        NĂM HỌC 2013 - 2014
                                                    Ngày 18 tháng 01 năm 2014  
Đề 1 : ( 8h - 9h30 )
Câu 1 :
So sánh $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$ và $\frac{3}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$
Câu 2 : 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng :

$(d_{1}):y=x+2;(d_2)y=\frac{-3}{2}x+\frac{9}{2}$
$(d_1);(d_2)$ cắt trục $Ox$ lần lượt tại $B;C$. Gọi $A$ là giao điểm của $(d_1);(d_2)$. Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho tứ giác $ABCM$ là hình bình hành
Câu 3 :

Cho 3 số $a;b;c$ thỏa : $\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^2+c^2=1 & \\ a^3+b^3+c^3=1 & \end{matrix}\right.$
Tính : $S=a+b^2+c^2$
Câu 4 :

Cho $a+b=1$. Tìm $GTNN$ của $Q=a^3+b^3+ab$
Câu 5 :

Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $AD;BE;CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $D;E;F;M$ cùng thuộc 1 đường tròn.

Đề 2 : ( 10h15 - 11h45 )
Câu 1 :

Cho biểu thức :
$P=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}-4\sqrt{xy}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}$
a) Tìm điều kiện để $P$ có nghĩa ?
b) Khi $P$ có nghĩa, chứng tỏ $P$ khong phụ thuộc vào $x$
Câu 2 :
Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}-3(x+y)+2=0 & \\ x-y-5=0 & \end{matrix}\right.$
Câu 3 :
Biết $ax+by+cz=0$ hãy tính giá trị biểu thức
$P=\frac{bc(y-z)^{2}+ca(z-x)^2+ab(x-y)^{2}}{ax^{2}+by^{2}+cz^{2}}$
Câu 4 :

Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
$\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=y$
Câu 5 :
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ đường kính $AC$. Trên tia $AB$ lấy $D$ sao cho $AD=3AB$. Tia $Dy$ vuong góc với $DC$ tại $D$ cắt tiếp tuyến $Ax$ của đường tròn $(O)$ tại $E$. Chứng minh : $BE=DE$

Đề 1 câu 4:

$a^{3}+b^{3}+ab=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})+ab=a^{2}+b^{2}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}=\frac{1}{2}$

$MinQ=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

[Yagami Raito]

 

Câu 5 :
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ đường kính $AC$. Trên tia $AB$ lấy $D$ sao cho $AD=3AB$. Tia $Dy$ vuong góc với $DC$ tại $D$ cắt tiếp tuyến $Ax$ của đường tròn $(O)$ tại $E$. Chứng minh : $BE=DE$

Lời giải :

 

$\star$ Gọi trung điểm $BD$ là $F$, trung điểm $CE$ là $G$.

 

        Ta có:  $GA = GC = GE = GD$ (trung điểm của cạnh huyền cách đều 3 đỉnh của tam giác vuông)

 

                $\Rightarrow$ $A, C, D, E$ cùng nằm trên đường tròn tâm $(G)$ bán kính $\dfrac{CE}{2}$.

 

Gọi $H$ là giao của $CB$ kéo dài và đường tròn tâm $(G)$.

 

Ta có : 

 

             $\angle HEA = \angle HCA= \angle EAD$ (cùng chắn cung $HA$)

 

       $\Rightarrow$ $HE // AD$ (do góc so le) $\Rightarrow \angle HFA = \angle HAF=\angle EDA$ (∆ $HAF$ cân do $HB$ là trung trực của $AF$)

 

        $\Rightarrow$ $ED // HF$ $\Rightarrow$ $EDFH$ là hình bình hành $\Rightarrow$   $ED = HF$  

 

    $\Rightarrow$ $2$ ∆ $EBD$ và $HAF$ bằng nhau (c.g.c). Do ∆ $HAF$ là ∆ cân nên ∆ $EBD$ là ∆ cân (tại E)

 

nên $\boxed{BE=DE}$

 

@@ Thảo Hiền đọc xem đúng chưa !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 20-01-2014 - 11:27