Cho a, b, c dương thỏa mãn: $3+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})=5(a+b+c)$. CMR:$\sum \frac{a^{2}}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leqslant 1$
CMR:$\sum \frac{a^{2}}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leqslant 1$
#1
Đã gửi 19-01-2014 - 07:21
#2
Đã gửi 19-01-2014 - 07:53
Cho a, b, c dương thỏa mãn: $3+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})=5(a+b+c)$. CMR:$\sum \frac{a^{2}}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leqslant 1$
Hướng giải của mình là như thế này, không biết có giúp ích gì không.
Từ điều kiện đề bài suy ra $a+b+c\leq 3$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có
$\sqrt{(a+b)(a+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{ac}$
Do đó
$\sum \frac{a^2}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \sum \frac{a^2}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}=\frac{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$
Liệu có chứng minh được $\frac{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\leq 1$ dựa vào $a+b+c\leq 3$ không nhỉ????
#3
Đã gửi 19-01-2014 - 07:54
Cho a, b, c dương thỏa mãn: $3+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})=5(a+b+c)$. CMR:$\sum \frac{a^{2}}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leqslant 1$
Sorry.Không biết bấm thế nào mà nó lại copy ra nhiều bài thế nhỉ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 19-01-2014 - 07:58
- lienthanhquyet yêu thích
#4
Đã gửi 19-01-2014 - 07:54
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 19-01-2014 - 07:59
#5
Đã gửi 19-01-2014 - 08:15
Cho a, b, c dương thỏa mãn: $3+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})=5(a+b+c)$. CMR:$\sum \frac{a^{2}}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leqslant 1$
Hướng giải của mình là như thế này, không biết có giúp ích gì không.
Từ điều kiện đề bài suy ra $a+b+c\leq 3$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có
$\sqrt{(a+b)(a+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{ac}$
Do đó
$\sum \frac{a^2}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \sum \frac{a^2}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}=\frac{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$
Liệu có chứng minh được $\frac{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\leq 1$ dựa vào $a+b+c\leq 3$ không nhỉ????
Sorry.Không biết bấm thế nào mà nó lại copy ra nhiều bài thế nhỉ
chắc là: $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$ chứ ko phải ;là:'
$\sum \frac{a^2}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$
nếu thê này thì BĐT sai ở $x=\frac{1}{2};y= \frac{1}{4};z=\frac{9}{4}$
sai đề.
nếu là thế này $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$
thif chỉ cần làm như
là OK
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenquocthang98: 19-01-2014 - 08:16
- lahantaithe99 và lienthanhquyet thích
#6
Đã gửi 19-01-2014 - 08:18
Nhưng nếu như bạn nói thì đâu còn cần giả thiết ở trên nữa
#7
Đã gửi 19-01-2014 - 17:47
chắc là: $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$ chứ ko phải ;là:'
$\sum \frac{a^2}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$
nếu thê này thì BĐT sai ở $x=\frac{1}{2};y= \frac{1}{4};z=\frac{9}{4}$
sai đề.
nếu là thế này $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$
thif chỉ cần làm như
là OK
Đề chắc chắn đúng bạn ơi!
- lienthanhquyet yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh