Chủ đề này có 4 trả lời

[LuminousVN]

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{x^2-3}=y+\sqrt{y^2+3} \\ x^3-y^3=3x-3y+4 \end{matrix}\right.$.

[Juliel]

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{x^2-3}=y+\sqrt{y^2+3} \\ x^3-y^3=3x-3y+4 \end{matrix}\right.$.

Lời giải :

Xét $x<0$, ta luôn có $y+\sqrt{y^2+3}>0$ nên $x+\sqrt{x^2-3}>0\Rightarrow x>-\sqrt{x^2-3}\Rightarrow x^2<x^2-3$, điều này mâu thuẫn. Như vậy phải có $x>0$.

Đặt $\sqrt{x^2-3}=a\geq 0\Rightarrow x^{2}=a^2+3\Rightarrow x=\pm \sqrt{a^2+3}$. Nhưng vì $x>0$ nên $x=\sqrt{a^2+3}$

Khi đó, phương trình đầu trở thành $a+\sqrt{a^2+3}=y+\sqrt{y^2+3}$. Xét hàm số $f(t)=t+\sqrt{t^2+3}$, kiểm tra được hàm này đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $f(a)=f(y)\Leftrightarrow a=y\Leftrightarrow x^2-y^2=3$.

Ta được hệ $\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=3(x-y)+4\\ x^2-y^2=3 \end{matrix}\right.$

Đặt $u=x+y,v=x-y$ thì $xy=\dfrac{u^2-v^2}{4}$

Do đó $\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=3(x-y)+4\\ x^2-y^2=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)\left [ (x+y)^2-xy-3 \right ]=4\\ (x-y)(x+y)=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v\left ( u^2-\dfrac{u^2-v^2}{4}-3 \right )=4\\ uv=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v(3u^2+v^2-12)=16\\ uv=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 9u=-v^3+12v+16\\ uv=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} uv=3\\ v^4-12v^2-16v+27=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (u,v)=(3,1)\Leftrightarrow (x,y)=(2,1)$

 

Chỗ phương trình bậc bốn $v^4-12v^2-16v-27=0\Leftrightarrow (v-1)(v^3+v^2-11v-27)=0$ thì chú ý phương trình bậc ba $v^3+v^2-11v-27=0$ có một nghiệm thực mà ta có thể tính được bằng công thức $Cardano$, vì nghiệm này khủng quá nên mình bỏ qua luôn, nhưng nếu giải ra rồi thử lại chắc cũng loại thôi =)), hoặc bạn có cách nào hay hơn giải hệ ấy thì trình bày....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 23-01-2014 - 23:27

[OnTuQuocDat]

ghê đấy Huy

[mathandyou]

Lời giải :

Xét $x<0$, ta luôn có $y+\sqrt{y^2+3}>0$ nên $x+\sqrt{x^2-3}>0\Rightarrow x>-\sqrt{x^2-3}\Rightarrow x^2<x^2-3$, điều này mâu thuẫn. Như vậy phải có $x>0$.

Đặt $\sqrt{x^2-3}=a\geq 0\Rightarrow x^{2}=a^2+3\Rightarrow x=\pm \sqrt{a^2+3}$. Nhưng vì $x>0$ nên $x=\sqrt{a^2+3}$

Khi đó, phương trình đầu trở thành $a+\sqrt{a^2+3}=y+\sqrt{y^2+3}$. Xét hàm số $f(t)=t+\sqrt{t^2+3}$, kiểm tra được hàm này đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $f(a)=f(y)\Leftrightarrow a=y\Leftrightarrow x^2-y^2=3$.

Ta được hệ $\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=3(x-y)+4\\ x^2-y^2=3 \end{matrix}\right.$

Đặt $u=x+y,v=x-y$ thì $xy=\dfrac{u^2-v^2}{4}$

Do đó $\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=3(x-y)+4\\ x^2-y^2=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)\left [ (x+y)^2-xy-3 \right ]=4\\ (x-y)(x+y)=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v\left ( u^2-\dfrac{u^2-v^2}{4}-3 \right )=4\\ uv=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v(3u^2+v^2-12)=16\\ uv=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 9u=-v^3+12v+16\\ uv=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} uv=3\\ v^4-12v^2-16v+27=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (u,v)=(3,1)\Leftrightarrow (x,y)=(2,1)$

 

Chỗ phương trình bậc bốn $v^4-12v^2-16v-27=0\Leftrightarrow (v-1)(v^3+v^2-11v-27)=0$ thì chú ý phương trình bậc ba $v^3+v^2-11v-27=0$ có một nghiệm thực mà ta có thể tính được bằng công thức $Cardano$, vì nghiệm này khủng quá nên mình bỏ qua luôn, nhưng nếu giải ra rồi thử lại chắc cũng loại thôi =)), hoặc bạn có cách nào hay hơn giải hệ ấy thì trình bày....

Hàm $f(t)$ chỉ đồng biến trên R+ thôi Huy và hàm đồng biến+liên tục thì mới có kq đó.nhưng cơ bản như vậy là được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathandyou: 27-01-2014 - 19:55

[Huuduc921996]

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{x^2-3}=y+\sqrt{y^2+3} \\ x^3-y^3=3x-3y+4 \end{matrix}\right.$.

$x+\sqrt{x^2-3}=y+\sqrt{y^2+3}\\ \Leftrightarrow \frac{x^2-y^2-3}{x+\sqrt{y^2+3}}+\frac{x^2-y^2-3}{y+\sqrt{x^2-3}}=0\\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^2-y^2-3=0\\ x+\sqrt{x^2-3}+y+\sqrt{y^2+3}=0(vonghiem) \end{bmatrix}$

HPT$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-y^2-3=0\\ x^3-y^3=3x-3y+4 \end{matrix}\right.$

Đến đây thì làm tiếp giống như bạn Juliel.