Chủ đề này có 3 trả lời

[highstep]

1/ Cho a,b,c không âm thoả mãn

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Tim max P=$ab^{2}+ bc^{2}+ca^{2}-abc$

2/ Cho a,b,c>0 thoả mãn x+y+z=xyz

Chứng minh rằng:$\frac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z}\leqslant xyz$

[nam8298]

Bài 2; Đặt $\frac{1}{x}=a ;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c$

BĐT càn chứng minh tương đương với $a+b+c +\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{1}{abc}\Leftrightarrow abc(a+b+c)+abc \sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq 1$

Áp dụng AM-GM ta có $abc\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq 2(a+b+c)abc$

nên BĐT cần chứng minh tương đương 3abc(a+b+c)$\leq 1$ (luôn đúng do ab+bc+ca=1)

[highstep]

Bài 2; Đặt $\frac{1}{x}=a ;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c$

BĐT càn chứng minh tương đương với $a+b+c +\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{1}{abc}\Leftrightarrow abc(a+b+c)+abc \sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq 1$

Áp dụng AM-GM ta có $abc\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq 2(a+b+c)abc$

nên BĐT cần chứng minh tương đương 3abc(a+b+c)$\leq 1$ (luôn đúng do ab+bc+ca=1)

gg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi highstep: 20-01-2014 - 07:18

[Simpson Joe Donald]

 

2/ Cho a,b,c>0 thoả mãn x+y+z=xyz

Chứng minh rằng:$\frac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z}\leqslant xyz$

Theo giả thiết tồn tại ba góc nhọn của một tam giác thỏa mãn $x = \tan A;y = \tan B;z = \tan C$.

Ta có $$\dfrac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} = \dfrac{{1 + \sqrt {1 + {{\tan }^2}A} }}{{\tan A}} = \dfrac{{1 + \dfrac{1}{{\cos A}}}}{{\dfrac{{\sin A}}{{\cos A}}}} = \dfrac{{\cos A + 1}}{{\sin A}} = c{\rm{ot}}\frac{A}{2}$$

Tương tự ta có

$$\dfrac{{1 + \sqrt {1 + {y^2}} }}{y} = \cot \dfrac{B}{2};\dfrac{{1 + \sqrt {1 + {z^2}} }}{z} = \cot \dfrac{C}{2}$$

Khi đó $$VT = \cot \dfrac{A}{2} + \cot \dfrac{B}{2} + \cot \dfrac{C}{2} \le 3\sqrt 3  \le \tan A.\tan B.\tan C = VP$$.

Bất đẳng thức được chứng minh.