Chủ đề này có 7 trả lời

[Vu Thuy Linh]

Cho a, b, c $\geq$ 0 và abc = 1. Tìm Min

K = $\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}$

 

[Trang Luong]

Cho a, b, c $\geq$ 0 và abc = 1. Tìm Min

K = $\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}$

Đặt $x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c};(a;b;c>0)\Rightarrow abc=1$

Ta có: K=$\sum \frac{x^{3}}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=\sum \frac{x^{3}yz}{y+z}=\sum \frac{x^{2}}{y+z}+\sum \frac{y+z}{4}-\sum \frac{y+z}{4}\geq \frac{3}{2}(x+y+z)\geq \frac{3}{2}$

dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c=1

[duaconcuachua98]

Cho a, b, c $\geq$ 0 và abc = 1. Tìm Min

K = $\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}$

$\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}= \sum \frac{bc}{a^{2}(b+c)}=\sum \frac{\frac{1}{a^{2}}}{\frac{b+c}{bc}}\geq \frac{\left ( \sum \frac{1}{a} \right )^{2}}{\sum \frac{b+c}{bc}}=\frac{\left ( \sum bc \right )^{2}}{2\sum bc}=\frac{\sum bc}{2}\geq \frac{3}{2}$

[minguyen]

ok

[phamquanglam]

Ta có $\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{a(b+c)}{4}\geq \frac{1}{a}$

Làm tương tự cho b,c ta có: $K\geq \sum \frac{1}{a}-\sum \frac{ab+ac}{4}$$\geq \frac{ab+bc+ca}{abc}-\frac{ab+bc+ca}{2}$

$\Rightarrow K\geq \frac{ab+bc+ca}{2}\geq \frac{3}{2}$

[vipboycodon]

Có $abc = 1$ => $a^2b^2c^2 = 1$

=> $A = \dfrac{a^2b^2c^2}{a^3(b+c)} + \dfrac{a^2b^2c^2}{b^3(a+c)} + \dfrac{a^2b^2c^2}{c^3(b+a)}$

= $\dfrac{b^2c^2}{a(b+c)}+\dfrac{a^2c^2}{b(c+a)}+ \dfrac{a^2b^2}{c(a+b))}$

Áp dụng bdt cauchy - schwarz :

$A \ge \dfrac{(ab+bc+ac)^2}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)} = \dfrac{(ab+bc+ac)^2}{2(ab+bc+ac)} = \dfrac{ab+bc+ac}{2}$

Mặt khác ta có : $ab+bc+ac \ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} = 3$

Nên $A \ge \dfrac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vipboycodon: 23-01-2014 - 12:23

[Hoang Tung 126]

Ta có :$\sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum \frac{\frac{1}{a^2}}{a(b+c)}\geq \frac{(\sum \frac{1}{a})^2}{2\sum ab}=\frac{(\frac{\sum ab}{abc})^2}{2\sum ab}=\frac{3}{2}$

[KietLW9]

Cho a, b, c $\geq$ 0 và abc = 1. Tìm Min

K = $\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}$

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x,y,z>0 & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$

Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{3}{2}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+y\geqslant z+x\geqslant y+z>0 & \\ \frac{x}{y+z}\geqslant \frac{y}{z+x}\geqslant \frac{z}{x+y}>0 & \end{matrix}\right.$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu cùng chiều và ngược chiều, ta được: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{1}{3}(x+y+z)(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})=\frac{1}{6}[(y+z)+(z+x)+(x+y)](\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})\geqslant \frac{1}{6}.3.[\frac{x}{y+z}.(y+z)+\frac{y}{z+x}.(z+x)+\frac{z}{x+y}.(x+y)]=\frac{x+y+z}{3}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$