Cho a, b, c $\geq$ 0 và abc = 1. Tìm Min
K = $\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}$
Cho a, b, c $\geq$ 0 và abc = 1. Tìm Min
K = $\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}$
Cho a, b, c $\geq$ 0 và abc = 1. Tìm Min
K = $\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}$
Đặt $x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c};(a;b;c>0)\Rightarrow abc=1$
Ta có: K=$\sum \frac{x^{3}}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=\sum \frac{x^{3}yz}{y+z}=\sum \frac{x^{2}}{y+z}+\sum \frac{y+z}{4}-\sum \frac{y+z}{4}\geq \frac{3}{2}(x+y+z)\geq \frac{3}{2}$
dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c=1
Cho a, b, c $\geq$ 0 và abc = 1. Tìm Min
K = $\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}$
$\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}= \sum \frac{bc}{a^{2}(b+c)}=\sum \frac{\frac{1}{a^{2}}}{\frac{b+c}{bc}}\geq \frac{\left ( \sum \frac{1}{a} \right )^{2}}{\sum \frac{b+c}{bc}}=\frac{\left ( \sum bc \right )^{2}}{2\sum bc}=\frac{\sum bc}{2}\geq \frac{3}{2}$
ok
Ta có $\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{a(b+c)}{4}\geq \frac{1}{a}$
Làm tương tự cho b,c ta có: $K\geq \sum \frac{1}{a}-\sum \frac{ab+ac}{4}$$\geq \frac{ab+bc+ca}{abc}-\frac{ab+bc+ca}{2}$
$\Rightarrow K\geq \frac{ab+bc+ca}{2}\geq \frac{3}{2}$
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vipboycodon: 23-01-2014 - 12:23
Ta có :$\sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum \frac{\frac{1}{a^2}}{a(b+c)}\geq \frac{(\sum \frac{1}{a})^2}{2\sum ab}=\frac{(\frac{\sum ab}{abc})^2}{2\sum ab}=\frac{3}{2}$
Cho a, b, c $\geq$ 0 và abc = 1. Tìm Min
K = $\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}$
Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x,y,z>0 & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$
Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{3}{2}$
Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+y\geqslant z+x\geqslant y+z>0 & \\ \frac{x}{y+z}\geqslant \frac{y}{z+x}\geqslant \frac{z}{x+y}>0 & \end{matrix}\right.$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh