Với $a,b,c>0$ $a+b+c=1$. Chứng minh:
$\sum \sqrt{a+(b-c)^{2}}\geq \sqrt{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VNSTaipro: 20-01-2014 - 08:20
Với $a,b,c>0$ $a+b+c=1$. Chứng minh:
$\sum \sqrt{a+(b-c)^{2}}\geq \sqrt{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VNSTaipro: 20-01-2014 - 08:20
bình phương hai vế ta đc BĐT cần chứng minh tương đương với $3(ab+bc+ca)\leq \sum \sqrt{a^{2}+ab+ac+(b-c)^{2}}\sqrt{b^{2}+ba+bc+(c-a)^{2}}$
áp dụng Cauchy -Schwazt ta có X= $\sqrt{a^{2}+ab+ac+(b-c)^{2}}\sqrt{b^{2}+ba+bc+(c-a)^{2}}= \sqrt{\sqrt{a(a+b+c)}^{2}+(b-c)^{2}}\sqrt{\sqrt{b(b+a+c)}^{2}+(c-a)^{2}}$ $\geq \left | (b-c)(c-a) \right |+\sqrt{ab}(a+b+c)$
làm tương tự rồi cộng lại ta cần chứng minh $\sum \left | (b-c)(c-a) \right |\geq 3(ab+bc+ca)-(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$
do $\sum \left | (b-c)(c-a) \right |\geq (\sum a^{2})-ab-bc-ca$ nên ta cần chứng minh $(\sum a^{2})+(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geq 4(ab+bc+ca)$
có thể viết dưới dạng $\sum (x-y)^{2}xy+\sum x^{4}+xyz(x+y+z)\geq 2\sum x^{2}y^{2}$ (luôn đúng theo Schur )
Vậy BĐT đc chứng minh
Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh