Chủ đề này có 2 trả lời

[Tran Hoai Nghia]

Cho $xyz=1(x,y,z>0)$.Chứng minh:

$\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+x)(1+z)}+\frac{z^{3}}{(1+y)(1+x)}\geqslant \frac{3}{4}$

[Phuong Thu Quoc]

Theo AM-GM ta có được

$\frac{x^{3}}{\left ( 1+y \right )\left ( 1+z \right )}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}8\geq \frac{3x}{4}$

Tương tự trên ta được các BĐT khác, cộng theo vế các BĐT này ta được

$\sum \frac{x^{3}}{\left ( 1+y \right )\left ( 1+z \right )}+\sum \frac{1+x}{4}\geq \sum \frac{3x}{4}\Rightarrow\sum \frac{x^{3}}{\left ( 1+y \right )\left ( 1+z \right )}\geq\sum \frac{x}{2}-\frac{3}{4} \geq 3\sqrt[3]{xyz}.\frac{1}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

BĐT được chứng minh...

[OnTuQuocDat]

áp dụng bđt AM-GM $\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}\geq \frac{3x}{4}$

tương tự suy ra $\sum \frac{x^3}{(1+y)(1+z)}\geq \frac{3(x+y+z)}{4}-\frac{3+x+y+z}{4}= \frac{2(x+y+z)-3}{4}\geq \frac{6\sqrt[3]{xyz}-3}{4}=\frac{3}{4}$