MÔN GIẢI TÍCH
Câu 1. Tính tích phân
Câu 2. Xác định tất cả các số thực $ c > 0$ sao cho dãy số:
$$a_1 = \dfrac{c}{2};a_{n+1} = \dfrac{c+a_n^2}{2},\forall n > 0$$
hội tụ và tìm giới hạn trong trường hợp đó.
Câu 3. Cho hàm số liên tục $f:[0;1] \to [0;1]$. Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm trong $[0;1]$.
$$2x-\int_{0}^{x}f(t)dt=1$$
Câu 4. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)=1$ và
$${f}'(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{f}^{2}}(x)}$$
với mọi $x \geq 1$. Chứng minh rằng tồn tại $\lim_{x \to +\infty} f(x)$
Câu 5. TÌm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
với mọi số thực $y$ và mọi số thực $x \neq 0$.
Câu 6. Cho hai dãy số thực $(a_n),(b_n)$ thỏa mãn
a) $(a_n+b_n)a_n \neq 0$ với mọi $n \geq 1$.
b) Các chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$ và $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$ đều hội tụ.
Chứng minh rằng chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}}}$ cũng hội tụ
MÔN ĐẠI SỐ
Câu 1. Cho ma trận
Câu 2. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ trên tập số thực có tính chất tổng các phần tử trên mỗi hàng của $A$ đều bằng $c$. Nếu $A^2=I$, tìm $c$.
Câu 3. Ký hiệu $M_n$ là không gian các ma trận vuông cấp $n$. Xét ánh xạ tuyến tính
$S:M_n \to M_n$ và $S(A)=A+A^T$.
Tính $dim(Im S)$.
Câu 4.
a) Cho $A$ là ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo phân biệt. Cho $B$ là ma trận vuông giao hoán với $A$. Chứng minh rằng tồn tại đa thức $f(t)$ sao cho $B=f(A)$.
b) Hãy giải bài toán trong trường hợp $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có $n$ giá trị riêng phân biệt.
Câu 5. Cho $n > 1$.
a) Hãy chỉ ra ma trận vuông $A$ cấp $n$ thỏa mãn $A^3=2A^2−A+2I$.
b) Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ trên tập các số thực thỏa mãn $A^3=2A^2−A+2I$.
Chứng minh rằng $detA > 0$.
Câu 6. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ thỏa mãn tính chất:
a) Các hệ số của $P(x)$ là hoán vị của $0,1,2,...,n$.
b) $P(x)$ có đúng $n$ nghiệm hữu tỉ.
