Chủ đề này có 1 trả lời

[hihi2zz]

Trong các số phức $z$ thoả: $|z+1+2i|=1$.Tìm $z$ có modun nhỏ nhất.

[wtuan159]

Trong các số phức $z$ thoả: $|z+1+2i|=1$.Tìm $z$ có modun nhỏ nhất.

Gọi z=a+bi

$\left | z+1+2i \right |=1$ 

<=>$a^{2}+b^{2}+2a+4b+4=0$ (1)

Theo BĐT cauchy cho 

$a^{2}+b^{2}\geq 2\sqrt{(ab)^{2}}=2ab$

Vậy modun nhỏ nhất khi $a^{2}+b^{2}=2ab$ (2)

Đẳng thức xảy ra khi $a^{2} = b^{2}$

$<=>a=b(3) vs a=-b$ (4)

Từ (1);(2);(3) ta có hệ pt:

$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+2a+4b+4=0 & \\ & a^{2}+b^{2}=2ab\\ & a=b \end{matrix}\right.$

 Giải ra $(-1;-1) ;(-2;-2)$ 

Từ (1);(2);(4)  ta có hệ pt VN

Vậy 2 số phức z thỏa đề bài: $z_{1}=-1-i ,z_{2}=-2-2i$