Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum \frac{\left ( a+b-c \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab}\geq \frac{3}{5}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 tim1nuathatlac

tim1nuathatlac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:lt-vp

Đã gửi 22-01-2014 - 21:21

Lâu lắm rồi không đưa người yêu lên...

 

Bài toán: Cho $a, b, c$ là các số thực dương. CM

 

$\frac{\left ( a+b-c \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab}+\frac{\left ( b+c-a \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc}+\frac{\left ( c+a-b \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ca}\geq \frac{3}{5}$

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------

 

                   Đề thi thử đại học lần 1 khối A, $A_{1}$ tỉnh Vĩnh Phúc.

                    

 

                               


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 22-01-2014 - 21:22



#2 VNSTaipro

VNSTaipro

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hoàng Hoa Thám, Đà Nẵng

Đã gửi 23-01-2014 - 17:28



Lâu lắm rồi không đưa người yêu lên...

 

Bài toán: Cho $a, b, c$ là các số thực dương. CM

 

$\frac{\left ( a+b-c \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab}+\frac{\left ( b+c-a \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc}+\frac{\left ( c+a-b \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ca}\geq \frac{3}{5}$

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------

 

                   Đề thi thử đại học lần 1 khối A, $A_{1}$ tỉnh Vĩnh Phúc.

                    

 

                               

$VT$ $=\sum \frac{a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca}{a^2+b^2+c^2+2ab}$

$=\sum (1-\frac{2c(a+b)}{(a+b)^{2}+c^{2}})$
$=\sum (1-\frac{2c(a+b)}{\frac{3}{4}(a+b)^2+[\frac{1}{4}(a+b)^2+c^2]})$
$\geq \sum(1-\frac{2c(a+b)}{\frac{3}{4}(a+b)^2+c(a+b)})$
$=\sum (1-\frac{8c}{3a+3b+4c})$
Vậy cần chứng minh $\sum (1-\frac{8c}{3a+3b+4c})\geq \frac{3}{5}$
$\Leftrightarrow \sum (2-\frac{8c}{3a+3b+4c})\geq \frac{3}{5}+3=\frac{18}{5}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{6a+6b}{3a+3b+4c}\geq \frac{18}{5}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a+b}{3a+3b+4c}\geq \frac{3}{5}$
BĐT này đúng vì $\sum \frac{a+b}{3a+3b+4c}= \sum \frac{(a+b)^{2}}{3(a+b)^2+c(a+b)}$
$\geq \frac{4(a+b+c)^2}{\sum [ 3(a+b)^2+c(a+b)]}\geq \frac{3}{5}$
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ca)$ Đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VNSTaipro: 23-01-2014 - 17:29

Hình đã gửi


#3 tim1nuathatlac

tim1nuathatlac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:lt-vp

Đã gửi 23-01-2014 - 20:40

Cách 2:

 

Ta chuẩn hóa $a+b+c=3$.

 

Lúc này điều phải chứng minh có thể viết lại thành     

 

$\sum \frac{\left ( 3-2a \right )^{2}}{\left ( 3-a \right )^{2}+a^{2}}\geq \frac{3}{5}$

 

Mặt khác ta lại chỉ ra được bất đẳng thức phụ sau:

 

$\frac{\left ( 3-2a \right )^{2}}{\left ( 3-a \right )^{2}+a^{2}} \geq \frac{18}{25}\left (1-a \right )+\frac{1}{5}$

 

$\Leftrightarrow \left ( a-1 \right )^{2}\left ( 2a+1 \right )\geq 0$

 

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.$\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 25-01-2014 - 15:34



#4 kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-01-2014 - 21:26

Cách 2:

 

Ta chuẩn hóa $a+b+c=3$.

 

Lúc này điều phải chứng minh có thể viết lại thành     

 

$\sum \frac{\left ( 3-a \right )^{2}}{\left ( 3-a \right )^{2}+a^{2}}\geq \frac{3}{5}$

 

Mặt khác ta lại chỉ ra được bất đẳng thức phụ sau:

 

$\frac{\left ( 3-a \right )^{2}}{\left ( 3-a \right )^{2}+a^{2}} \geq \frac{18}{25}\left (1-a \right )+\frac{1}{5}$

 

$\Leftrightarrow \left ( a-1 \right )^{2}\left ( 2a+1 \right )\geq 0$

 

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.$\square$

sai rồi, phải là  $\sum \frac{(3-2a)^{2}}{(3-a)^{2}+a^{2}}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh