Chủ đề này có 1 trả lời

[thienminhdv]

Cho $x,y,z$ là những số thực dương thỏa mãn $x+y\leq z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left ( x^4+y^4+z^4 \right )\left ( \dfrac{1}{x^4} +\dfrac{1}{y^4} +\dfrac{1}{z^4} \right )$

[Hoang Tung 126]

Cho $x,y,z$ là những số thực dương thỏa mãn $x+y\leq z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left ( x^4+y^4+z^4 \right )\left ( \dfrac{1}{x^4} +\dfrac{1}{y^4} +\dfrac{1}{z^4} \right )$

Ta có :$P=(x^4+y^4+z^4)(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4})=3+(\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4})+z^4(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4})+\frac{x^4+y^4}{z^4}\geq 3+2\sqrt{\frac{x^4}{y^4}.\frac{y^4}{x^4}}+\frac{2z^4}{x^2y^2}+\frac{(x+y)^4}{8z^4}\geq 5+\frac{2z^4}{\frac{(x+y)^4}{16}}+\frac{(x+y)^4}{8z^4}=5+\frac{32z^4}{(x+y)^4}+\frac{(x+y)^4}{8z^4}=5+(\frac{(x+y)^4}{8z^4}+\frac{z^4}{8(x+y)^4})+\frac{255z^4}{8(x+y)^4}\geq 5+2\sqrt{\frac{1}{64}}+\frac{255z^4}{8.z^4}=\frac{297}{8}= > P\geq \frac{297}{8}$

(Do áp dụng bdt Cosi và $x+y\leq z$)

  Dấu = xảy ra tại $x=y=\frac{z}{2}$