Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{10}{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
RoyalMadrid

RoyalMadrid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết

Cho a,b,c >0 thỏa mãn a + b +c = 1. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{10}{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
 



#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho a,b,c >0 thỏa mãn a + b +c = 1. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{10}{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
 

Áp dụng bất đẳng thức phụ sau : $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}$

         $\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\sqrt[3]{abc}\geqslant \frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}\geqslant \frac{10}{3}\geqslant \frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)}$

Chứng minh 1: Đặt $t=\sqrt[3]{abc}\leqslant \frac{a+b+c}{3}=\frac{1}{3}$

       $\Rightarrow \frac{1}{t}+t=(\frac{1}{9t}+t)+\frac{8}{9t}\geqslant \frac{10}{3}$ do AM-GM và $t\leqslant \frac{1}{3}$

Chứng minh 2: $\frac{10}{3}\geqslant \frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)}\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geqslant 1$

BĐT trên luôn đúng theo AM-GM $3(a^2+b^2+c^2)\geqslant (a+b+c)^2=1$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3
RoyalMadrid

RoyalMadrid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết

Áp dụng bất đẳng thức phụ sau : $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}$

         $\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\sqrt[3]{abc}\geqslant \frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}\geqslant \frac{10}{3}\geqslant \frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)}$

Chứng minh 1: Đặt $t=\sqrt[3]{abc}\leqslant \frac{a+b+c}{3}=\frac{1}{3}$

       $\Rightarrow \frac{1}{t}+t=(\frac{1}{9t}+t)+\frac{8}{9t}\geqslant \frac{10}{3}$ do AM-GM và $t\leqslant \frac{1}{3}$

Chứng minh 2: $\frac{10}{3}\geqslant \frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)}\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geqslant 1$

BĐT trên luôn đúng theo AM-GM $3(a^2+b^2+c^2)\geqslant (a+b+c)^2=1$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bạn có thể nói rõ hơn cách chứng minh bất đẳng thức phụ ở phần đầu đk k???



#4
kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết

Bạn có thể nói rõ hơn cách chứng minh bất đẳng thức phụ ở phần đầu đk k???

chứng minh bdt đó thì đơn giản thôi
$\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^{2}}}{\sqrt[3]{bc}}$

tương tự, rồi suy ra $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{\sqrt[3]{a^{2}}}{\sqrt[3]{bc}}+\frac{\sqrt[3]{b^{2}}}{\sqrt[3]{bc}}+\frac{\sqrt[3]{c^{2}}}{\sqrt[3]{ab}}=\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh