Bài làm :
Chọn trục tọa độ có $Ox \equiv d$
Đặt $A (a_x ,a_y) ,B(b_x ,b_y) ,C(c_x,c_y) ,M(m,0) ,U(u,0) ,V(v,0)$
Ta có $\frac{MR}{MU} =\frac{MS}{MV} =k$
Vậy $x_{R} =m-(m-u)k=m(1-k) +uk$
Tương tự $x_S =m(1-k) +vk$
Vậy $R (m(1-k)+uk ,0) và S (m(1-k)+vk ,0)$
Phương trình đường thẳng AB là $\frac{x-a_x}{b_x-a_x} =\frac{y-a_y}{b_y -a_y}$
$\Leftrightarrow \frac{(x-a_x)(b_y-a_y) +a_y(b_x-a_x)}{b_x-a_x} =y$
Như vậy P là giao điểm của $x =m(1-k) +uk$ và AB
$\Rightarrow y_p =\frac{(m(1-k)+uk-a_x)(b_y -a_y)}{b_x-a_x} +a_y $
Vậy $P (m(1-k)+uk ,\frac{(m(1-k) +uk -a_x)(b_y -a_y)}{b_x -a_x} +a_y)$
Chứng minh tương tự ta cũng có
$Q (m(1-k) +vk ,\frac{(m(1-k) +vk -a_x)(c_y-a_y)}{c_x -a_x} +a_y)$
Vậy $\vec{PQ} = (k(v-u) ,\frac{(m(1-k)+uk -a_x)(c_y -a_y)}{c_x -a_x} -\frac{(m(1-k) +vk -a_x)(b_y-a_y)}{b_x-a_x})$
Phương trình đường thẳng từ M vuông góc PQ là :
$k(v-u) (x-m) +(\frac{(m(1-k) +uk -a_x)(c_y-a_y)}{c_x-a_x}-\frac{(m(1-k)+vk -a_x)(b_y-a_y)}{b_x -a_x})y =0$
Gọi phương trình trên là P(x,y)
Giả sử đường thẳng qua M vuông góc PQ đi qua điểm cố định $T (x_0 ,y_0)$
Thì $P (x_0 ,y_0) =0 \forall m$
Đây là phương trình bậc 1 đối với m nên P(x_0 ,y_0) =0 $\forall m$ $\Leftrightarrow $mọi hệ số =0
Ta có hệ số $m = -k(v-u) +(1-k)(\frac{c_y-a_y}{c_x-a_x} -\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x})y_o=0$
Nếu $ \frac{c_y -a_y}{c_x-a_x} -\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x} =0$
$\Leftrightarrow \frac{c_y}{v-a_x} =\frac{b_y}{u-a_x}$ ( Do $a_y=0 ,b_x =y ,c_x=v$)
$\Leftrightarrow \frac{CV}{VA} =\frac{BU}{UA}$
$\Leftrightarrow tan_{\angle UAB} =tan_{\angle VAC} \Leftrightarrow \Delta AUB =\Delta AVC$ . Khi đó ta chọn gốc tọa độ tại A thì $u-v =0 \Rightarrow hệ số m =0$
Nếu không , ta chọn $y_0 =\frac{k(v-u)}{(1-k)(\frac{c_y-a_y}{c_x-a_x} -\frac{b_y -a_y}{b_x-a_x})} =\frac{k(v-u)}{(1-k)(\frac{c_y}{v-a_x}-\frac{b_y}{u-a_x})} $
Hệ số bậc 0 của m là $x_0(v-u)k +y_0 ((uk-ax)\frac{c_y-a_y}{c_x-a_x}- (vk -ax)\frac{b_y-a_y}{b_x -a_x}) =0$
Nếu u=v thì ta thay vào , hệ số bậc 0 của m cũng =0
Nếu u khác v ta chọn $x_0 =\frac{\frac{k(v-u)}{(1-k)(\frac{c_y-a_y}{c_x-a_x} -\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x})} .((uk-ax)\frac{c_y-a_y}{c_x-a_x} -(vk-ax)\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x})}{u-v}$
Tóm lại Đường thẳng qua M vuông góc PQ luôn đi qua điểm cố định
Lời giải khá ổn. Tuy nhiên, em nên xem xét kĩ hơn các mẫu số khi thực hiện kiểu tọa độ này.
$d=8,5$
$d_{mr}=0;d_{t}=0;d_{tl}=0$
$S=40,5$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 04-02-2014 - 22:37
