Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ba}\leq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
RoyalMadrid

RoyalMadrid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết

Cho $a,b,c\in \left [ 0;1 \right ].$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ba}\leq 2$



#2
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

Cho $a,b,c\in \left [ 0;1 \right ].$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ba}\leq 2$

Giả sử a=max{a;b;c}

$\Rightarrow (1-a)(1-b)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b$



#3
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Giả sử a=max{a;b;c}

$\Rightarrow (1-a)(1-b)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b$

 

Cho $a,b,c\in \left [ 0;1 \right ].$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ba}\leq 2$

Mình có cách khác như sau : 

Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a\geqslant b\geqslant c$

                $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{1+ac}\leqslant \frac{1}{1+bc}\\ \frac{1}{1+ab}\leqslant \frac{1}{1+bc} \end{matrix}\right.$

                $\Rightarrow P\leqslant \frac{a+b+c}{1+bc}$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $\frac{a+b+c}{1+bc}\leqslant 2$

                $\Leftrightarrow (1-b)(1-c)+(1-a)+bc\geqslant 0$

Rõ ràng bất đẳng thức trên luôn đúng do giả thiết

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,1)$ và hoán vị


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh