Cho $a,b,c\in \left [ 0;1 \right ].$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ba}\leq 2$
CMR: $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ba}\leq 2$
#1
Đã gửi 23-01-2014 - 22:22
#2
Đã gửi 23-01-2014 - 22:29
Cho $a,b,c\in \left [ 0;1 \right ].$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ba}\leq 2$
Giả sử a=max{a;b;c}
$\Rightarrow (1-a)(1-b)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b$
- RoyalMadrid và hoangmanhquan thích
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
#3
Đã gửi 24-01-2014 - 17:39
Giả sử a=max{a;b;c}
$\Rightarrow (1-a)(1-b)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b$
Cho $a,b,c\in \left [ 0;1 \right ].$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ba}\leq 2$
Mình có cách khác như sau :
Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a\geqslant b\geqslant c$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{1+ac}\leqslant \frac{1}{1+bc}\\ \frac{1}{1+ab}\leqslant \frac{1}{1+bc} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow P\leqslant \frac{a+b+c}{1+bc}$
Do vậy ta chỉ cần chứng minh $\frac{a+b+c}{1+bc}\leqslant 2$
$\Leftrightarrow (1-b)(1-c)+(1-a)+bc\geqslant 0$
Rõ ràng bất đẳng thức trên luôn đúng do giả thiết
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,1)$ và hoán vị
- RoyalMadrid và Viet Hoang 99 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh