Đề của toán thủ : Best Friend
$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$$
Mở rộng của lovemathforever99:
Thay các hệ số của pt thứ nhất ( đã rút gọn cho 4): $2x^{2}-5xy+3y^{2}=0$ với $a=2$ và $b=3$
Ta có hệ pt tổng quát hơn:
(1): $ax^{2}-(a+b)xy+by^{2}=0$
(2):$2ax^{2}-abx+1=y^{2}-by$
Từ pt (1) $\Rightarrow ax^{2}-axy-bxy+by^{2}=0$
$\Leftrightarrow ax(x-y)-by(x-y)=0$
$\Leftrightarrow(x-y)(ax-by)=0$
$\Leftrightarrow$ $x=y$ hoặc $ax=by$
Chia ra 2 trường hợp:
(2) $\Rightarrow 2ax^{2}-abx+1-x^{2}+bx=0$
$\Leftrightarrow (2a-1)x^{2}-b(a-1)x+1=0$ (*)
Xét $\bigtriangleup =b^{2}(a-1)^{2}-4(2a-1)$
+ Nếu $b^{2}(a-1)^{2}>4(2a-1)$ thì $\bigtriangleup > 0$
$\Rightarrow $ pt (*)có 2 nghiệm phân biệt : $x=y=\frac{b(a-1)\pm \sqrt{b^{2}(a-1)^{2}-4(2a-1)}}{2(2a-1)}$
+Nếu $b^{2}(a-1)^{2}=4(2a-1)$ thì $\bigtriangleup = 0$
pt (*) có nghiệm kép : $x=y=\frac{b(a-1)}{2(2a-1)}$
+Nếu $b^{2}(a-1)^{2}<4(2a-1)$ thì $\bigtriangleup < 0$
hệ pt vô nghiệm.
- $ax=by$ $\Leftrightarrow y=\frac{a}{b}x$
PT (2): $\Rightarrow 2ax^{2}-abx+1-\frac{a^{2}}{b^{2}}x^{2}+ax=0$
$\Leftrightarrow (2a-\frac{a^{2}}{b^{2}})x^{2}-a(b-1)x+1=0 (**)$
$\bigtriangleup =a^{2}(b-1)^{2}-4(2a-\frac{a^{2}}{b^{2}})$
+Nếu $a^{2}(b-1)^{2}> 4(2a-\frac{a^{2}}{b^{2}})$ $\bigtriangleup > 0\Rightarrow$ pt (**) có 2 nghiệm phân biệt.
$x=\frac{a(b-1)\pm \sqrt{a^{2}(b-1)^{2}-4(2a-\frac{a^{2}}{b^{2}})}}{2(2a-\frac{a^{2}}{b^{2}})}$
$y=\frac{a^{2}(b-1)\pm a\sqrt{a^{2}(b-1)^{2}-4(2a-\frac{a^{2}}{b^{2}})}}{2b(2a-\frac{a^{2}}{b^{2}})}$
+Nếu $a^{2}(b-1)^{2}= 4(2a-\frac{a^{2}}{b^{2}})$ $\bigtriangleup =0$$\Rightarrow$ pt (**) có nghiệm kép
$x=\frac{a(b-1)}{(2a-\frac{a^{2}}{b^{2}})}$ $\Rightarrow y=\frac{a^{2}(b-1)}{b(2a-\frac{a^{2}}{b^{2}})}$
+Nếu $a^{2}(b-1)^{2}< 4(2a-\frac{a^{2}}{b^{2}})$ $\bigtriangleup <0$$\Rightarrow$ pt (**) vô nghiệm.
____________________________
$D_{mr} = 10$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 03-02-2014 - 22:50