Chủ đề này có 145 trả lời

[huukhangvn]

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$$

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

Ta có:8x²+12y²-20xy=8(x²-2,5yx+1,5y²)=8(x²-xy-1,5xy+1,5y²)=8[x(x-y)-1,5y(x-y)]=8(x-y)(x-1,5y)=0

=>x=y hoặc x=1,5y

*Trường hợp 1:x=y

Khi đó phương trình 4x²-6x+1=y²-3y<=>4x²-6x+1=x²-3x

<=>4x²-6x+1+3x-x²=0<=>3x²-3x+1=0<=>3(x²-x+1/3)=0(phương trình vô nghiệm vì x²$\geqslant x$=>x²+1/3>x)

*Trường hợp 2:x=1,5y

Khi đó phương trình 4x²-6x+1=y²-3y<=>9y²-9y+1=y²-3y

<=>9y²-y²-9y+3y+1=0<=>8y²-6y+1=0<=>8(y²-0,75y+1)<=>8(y²-0,5y-0,25y+1/8)<=>8[y(y-0,5)-0,25(y-0,50]=0<=>8(y-0,25)(y-0,5)=0

suy ra y=0,25 hoặc y=0,5 

Tại y=0,25 thì x=1,5.0,25=0,375

      y=0,5 thì x=1,5.0,5=0,75

Thử lại ta thấy các kết quả trên thoả mãn với hệ phương trình

Tóm lại các cặp số (x;y) thoả mãn hệ phương trình là:(0,375;0,25);(0,75;0,5)

__________________________________
$S = 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:54

[phuocdinh1999]

MỞ RỘNG 1

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}ax^2+bxy+cy^2=0 (1)& \\ mx^2+nx+p=m'y^2+n'y+p'(2) & \end{matrix}\right.$

với $a,b,c,m,n,p,m',n',p'$ là các hằng số cho trước.

 

Cách giải:

-Nếu $a=0$ thì $(1)\Leftrightarrow y(bx+cy)=0$

$\Rightarrow y=0$ hoặc $bx+cy=0$

Thay vào $(2)$, ta được 1 PT bậc 2 một ẩn theo $x$

Giải PT rồi thay vào $(1)$ tính $y$

-Nếu $a\neq 0$

Ta lập $\bigtriangleup$ theo $x$ ở $PT(1)$

Tính được $x$ theo $y$ rồi thay vào $(2)$ giải PT bậc 2 một ẩn

_______________________________
$D_{mr} = 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:54

[Hoang Tung 126]

-Từ phương trình đầu $= > 8x(x-y)-12y(x-y)=0< = > (x-y)(8x-12y)=0< = > (x-y)(2x-3y)=0$

$= > x=y$ hoặc $2x=3y$

-Nếu $x=y$ .Thay vào pt thứ 2 của hệ $= > 4x^2-6x+1=x^2-3x= > 3x^2-3x+1=0< = > 3(x^2-x+\frac{1}{4})+\frac{1}{4}=0< = > 3(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}=0$(Vô lý do $3(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}\geq \frac{1}{4}> 0$)

-Nếu $2x=3y= > y=\frac{2x}{3}$. Thay vào pt thứ 2 của hệ

 $= > 4x^2-6x+1=(\frac{2x}{3})^2-3.\frac{2x}{3}= > 4x^2-6x+1=\frac{4x^2}{9}-2x< = > 4x^2-4x+1=(\frac{2x}{3})^2< = > (2x-1)^2=(\frac{2x}{3})^2= > 2x-1=\frac{2x}{3}$ hoặc $2x-1=\frac{-2x}{3}$ $= > x=\frac{3}{4}$ hoặc $x=\frac{3}{8}$

Từ đó tính được y

___________________
$S = 10$ (châm trước)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:53

[phuocdinh1999]

MỞ RỘNG 2

Thay hằng số $0$ ở đề bài thành $910$:

$\left\{\begin{matrix} 8x^2+12y^2-20xy=910 & \\ 4x^2-6x+1=y^2-3y & \end{matrix}\right.$

 

Giải:

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8x^2+12y^2-20xy-910=0(1) & \\ 4x^2-6x-y^2+3y+1=0(2) & \end{matrix}\right.$

$(1)+(2)x10$:

$48x^2-20x(y+3)+2y^2+30y-900=0$

$\Leftrightarrow (4x-y+15)(6x-y-30)=0$$\Rightarrow x=\frac{y-15}{4}$ hoặc $x=\frac{y+30}{6}$

Thay vào $PT(1)$ giải ta tìm được nghiệm hệ PT

___________________
$D_{mr}=3$ (châm trước)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 03-02-2014 - 15:17

[Super Fields]

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$$

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

Vào lúc 24 Tháng 1 2014 - 23:02, BlackSelena đã nói:

$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 (1)& & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y(2) & & \end{matrix}\right.$

 

Phương trình $1$ 

$\Leftrightarrow 8x^{2}-8xy-12xy+12y^{2}=0$

$\Leftrightarrow 8x(x-y)-12y(x-y)=0$

$\Leftrightarrow 4(x-y)(2x-3y)=0$

$\Rightarrow \left \begin{bmatrix}x-y=0 \\ 2x-3y=0\end{bmatrix}$

$\Rightarrow \left \begin{bmatrix}x=y \\ 2x=3y\end{bmatrix}$

$\bigstar$ Với $x=y$ 

$\Rightarrow$ Phương trình $(2)$

$\Leftrightarrow 4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x$

$\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$

$\Leftrightarrow 3(x^{2}-x+\frac{1}{4})+\frac{1}{4}=0$

$\Leftrightarrow 3(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}=0$ 

Điều này hiễn nhiên mâu thuẫn !! Vì$3(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}> 0 \forall x$

$\Rightarrow x=y$ (Loại)

$\bigstar$ Với $2x=3y$ 

$\Rightarrow y=\frac{2}{3}x$

$\Rightarrow$ Phương trình $(2)$

$\Leftrightarrow 4x^{2}-6x+1=\frac{4}{9}x^{2}-2x$

$\Leftrightarrow \frac{32}{9}x^{2}-4x+1=0$

$\Leftrightarrow \frac{32x^{2}-36x+9}{9}=0$

$\Rightarrow 32x^{2}-36x+9=0$

$\Delta '=18^{2}-32.9=36 > 0$

Vậy phương trình có $2$ nghiệm phân biệt.

$\large \left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta }}{a}=\frac{18+\sqrt{36}}{32}=\frac{3}{4}\\ x_{2}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta }}{a}=\frac{18-\sqrt{36}}{32}=\frac{3}{8}\\ \end{matrix}\right.$

$\large \triangleright x=\frac{3}{4}\Rightarrow y=\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}.\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$

$\large \triangleright x=\frac{3}{8}\Rightarrow y=\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}.\frac{3}{8}=\frac{1}{4}$

Thử lại, ta thấy:

$\large \bigtriangledown$Với $\large (x,y)=(\frac{3}{4};\frac{1}{2})$ (đúng)

$\large \bigtriangledown$Với $\large (x,y)=(\frac{3}{8};\frac{1}{4})$ (đúng)

Vậy Hệ phương trình có $2$ cặp nghiệm:

$\large (x,y)=(\frac{3}{4};\frac{1}{2});(\frac{3}{8};\frac{1}{4})$.

[Master Key 99]

+ Xét x=0 $\Rightarrow 8.0^{2}+12.y^{2}-20.0.y=0 \Rightarrow 12.y^{2}=0\Rightarrow y=0$ .Vậy x=y=0

 

+Xét x$\neq 0$ ta có $8x^{2} + 12y^{2}-20xy=0\Rightarrow 8+12\frac{y^{2}}{x^{2}}-20\frac{y}{x}=0$ ( Chia 2 vế cho $x^{2}$$\neq 0$ )

 Đặt $\frac{y}{x}=t$ ta có 8+12$t^{2}$ -20t=0 $\Rightarrow 12t(t-1)-8(t-1)=0\Rightarrow (t-1)(12t-8)=0\Rightarrow t=1$ hoặc $t=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

Trường hợp 1 : t=1 $\Rightarrow t=1\Rightarrow \frac{y}{x}=1\Rightarrow x=y$

Thay  x=y vào phương trình $8x^{2}+12y^{2}-20xy=0\Rightarrow 8x^{2}+12x^{2}-20x^{2}=0\Rightarrow 20x^{2}-20x^{2}=0\Rightarrow x\epsilon R$ mà x=y $\Rightarrow$$x,y\epsilon R$ và x,y$\neq 0$

Trường hợp 2: t=$\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{2}{3}\Rightarrow y=\frac{2}{3}x$

Thay vào phương trình$8x^{2}+12y^{2}-20xy=0\Rightarrow 8x^{2}+12(\frac{2}{3}x)^{2}-20\frac{2}{3}x^{2}=0\Rightarrow 8x^{2}+12.\frac{4}{9}x^{2}-\frac{40}{3}x^{2}=0\Rightarrow 8x^{2}+\frac{48}{9}.x^{2}-\frac{40}{3}x^{2}=0\Rightarrow (8+\frac{48}{9}-\frac{40}{3})x^{2}=0\Rightarrow 0.x^{2}=0\Rightarrow x\epsilon R$ và y =$\frac{2}{3}.x$

Vậy phương trình có vô số nghiệm sao cho x=y$\epsilon R$ ;x=y=0 hoặc x$\epsilon R$ và y=$\frac{2}{3}.x$

__________
$S = 10$ (châm trước -,-)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:53

[stronger steps 99]

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 (1)& & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y(2) & & \end{matrix}\right.$$

 

(1)$\leftrightarrow 2x^{2}-5xy+3y^{2}=0\leftrightarrow 2x^{2}-2xy-(3xy-3y^{2})=0\leftrightarrow 2x(x-y)-3y(x-y)=0\leftrightarrow (2x-3y)(x-y)=0\leftrightarrow$ x=y hoặc 2x=3y

 *TH1: x=y

  Thay vào (2) ta được: $4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x\leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0\leftrightarrow x^{2}-x+\frac{1}{3}=0\leftrightarrow x^{2}-x+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=0\leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{12}=0$(vô lí)

*TH2:2x=3y $\leftrightarrow$ $4x^{2}=9y^{2},6x=9y$

 Thay vào (2) ta được: $9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y\leftrightarrow (9y^{2}-6y+1)-y^{2}=0\leftrightarrow (3y-1)^{2}-y^{2}=0\leftrightarrow (2y-1)(4y-1)=0\leftrightarrow$ y=$\frac{1}{2}$ hoặc y=$\frac{1}{4}$

 +y=$\frac{1}{2}$$\leftrightarrow x=\frac{3}{4}$

 +y=$\frac{1}{4}$$\leftrightarrow x=\frac{3}{8}$

Vậy (x,y)=$(\frac{3}{4} ;\frac{1}{2});(\frac{3}{8};\frac{1}{4})$

______________________________________

$d = 10$

$ S = 44$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:52

[Super Fields]

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$$

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

 

Bài làm của $MSS 27$

 

 

$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 (1) & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y (2)& & \end{matrix}\right$

Phương trình $(1)$

$\Leftrightarrow 8x^{2}-8xy-12xy+12y^{2}=0$

$\Leftrightarrow 8x(x-y)-12y(x-y)=0$

$\Leftrightarrow 4(x-y)(2x-3y)=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x-y=0\\ 2x-3y=0\end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x=y\\ 2x=3y\end{bmatrix}$

$\bigstar$ Với $x=y$ 

$\Rightarrow$ Phương trình $(2)$

$\Leftrightarrow 4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x$

$\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$

$\Leftrightarrow 3(x^{2}-x+\frac{1}{4})+\frac{1}{4}=0$

Điều này hiển nhiên mâu thuẫn !! Vì:

$3(x^{2}-x+\frac{1}{4})+\frac{1}{4}> 0 \forall x$

$\Rightarrow x=y$ (Loại)

$\bigstar$ Với $2x=3$\Rightarrow y=\frac{2}{3}x$y$ 

Vậy phương trình $(2)$

$\Leftrightarrow 4x^{2}-6x+1=\frac{4}{9}x^{2}-2x$

$\Leftrightarrow \frac{32}{9}x^{2}-4x+1=0$

$\Leftrightarrow \frac{32x^{2}-36x+9}{9}=0$

$\Leftrightarrow 32x^{2}-36x+9=0$

$\Delta '=18^{2}-32.9=36 > 0$

Vậy phương trình có $2$ nghiệm phân biệt.

$\left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta }}{a}=\frac{18+\sqrt{36}}{32}=\frac{3}{4}\\ x_{2}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta }}{a}=\frac{18-\sqrt{36}}{32}=\frac{3}{8}\\ \end{matrix}\right.$

$\triangleright x=\frac{3}{4}\Rightarrow y=\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}.\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$

$\triangleright x=\frac{3}{8}\Rightarrow y=\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}.\frac{3}{8}=\frac{1}{4}$

Thử lại, ta thấy:

Với $(x,y)=(\frac{3}{4};\frac{1}{2})$ (đúng)

Với $(x,y)=(\frac{3}{8};\frac{1}{4})$ (đúng)

Vậy Hệ phương trình có $2$ cặp nghiệm:

$(x,y)=(\frac{3}{4};\frac{1}{2});(\frac{3}{8};\frac{1}{4})$

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

P/s: Có vài lỗi trên máy, nên $MSS 27$ không biết đã gửi bài làm của mình chưa. $MSS 27$ gửi lại bài này cho chắc chắn, có gì mong các thầy thông cảm !! Hì!!

[Augustin Louis Cauchy 1998]

Từ phương trình 1 $\Leftrightarrow(2x-3y)(x-y)=0$

TH1: x=1,5y Thay vào phương trình 2 ta được 8y^2-6y+1=0 (*)

$\Rightarrow$ phương trình (*) có 2 nghiệm y=0,5 hoặc y=0,25

$\Rightarrow$ hệ có hai nghiệm (x;y) là (0,75;0,5) ; (0,375;0,25)

TH2: x=y Thay vào phương trình 2 ta được 3y^2-3y+1=0 (vô nghiệm)

$\Rightarrow$ hệ vô nghiệm

 

 

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là (0,75;0,5) ; (0,375;0,25)

_________________
$\LaTeX$ ?
$S = 20$ (châm trước)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:51

[Super Fields]

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 (1)& & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y (2)& & \end{matrix}\right.$$$

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

$MSS 27$:

Cách làm khác.!

 

Đk: $x\neq y$. Vì. Nếu $x=y$ thì phương trình $(2)$ luôn dương (tự chứng minh hoặc xem cách chứng minh ở lời giải trước của $MSS 27$)

 

$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 8x^{2}-12x+2=2y^{2}-6y & & \end{matrix}\right.$ 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0(1) & & \\ 8x^{2}-12x+2-2y^{2}+6y=0(2) & & \end{matrix}\right.$

Lấy phương trình $(1)+$ phương trình $(2)$, vế theo vế, ta được:

$16x^{2}+10y^{2}-12x+6y-20xy+2=0$

 $\Leftrightarrow 32x^{2}+20y^{2}-24x+12y-40xy+4=0$

$\Leftrightarrow (32x^{2}-36x+9)+(20y^{2}+12y+12x-40xy-5)=0$ $\ast$

Đặt $20y^{2}+12y+12x-40xy-5$ là $S$

Quay lại và nhân $2$ lên phương trình $(1)$

$\Rightarrow 16x^{2}+24y^{2}-40xy=0$

$\Leftrightarrow 20x^{2}-40xy+4y^{2}+16x^{2}=0$

$\Leftrightarrow 20x^{2}-40xy=-4y^{2}-16x^{2}$ $\bigstar1$

Quay lại và nhân $4$ lên phương trình $(2)$

$\Rightarrow 16x^{2}-24x+4=4y^{2}-12y$$\bigstar2$

Thay $\bigstar1$ vào $S$, ta được:

$-4y^{2}-16x^{2}+12y+12x-5=0$

$\Rightarrow 4y^{2}+16x^{2}-12y-12x+5=0$

Thay $\bigstar2$ vào phương trình trên

$\Rightarrow 16x^{2}-24x+4+16x^{2}-12x+5=0$

$\Leftrightarrow S=32x^{2}-36x+9=0$

Thay $S$ vào biểu thức $\ast$, thu gọn, ta được:

$2(32x^{2}-36x+9)=0$

$\Leftrightarrow 32x^{2}-36x+9=0$

$\Leftrightarrow 32x^{2}-24x-32x+9=0$

$\Leftrightarrow 8(4x-3)-3(4x-3)=0$

$\Leftrightarrow (4x-3)(8x-3)=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 4x-3=0\\ 8x-3=0\end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 4x=3\\ 8x=3\end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{3}{4}\\ x=\frac{3}{8}\end{bmatrix}$

$\triangleright$Với $x=\frac{3}{4}$, thay vào phương trình $(1)$

$\Rightarrow 8.(\frac{3}{4})^{2}+12y^{2}-20.\frac{3}{4}y=0\Leftrightarrow 12y^{2}-15y+\frac{9}{2}=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{2} (y\neq x= \frac{3}{4})$

$\triangleright$Tương tự với $x=\frac{3}{8}\Rightarrow y=\frac{1}{4}$

Thử lại và nhận $2$ cặp nghiệm này.

$\blacklozenge$Kết luận:

Phương trình có $2$ cặp nghiệm:

$(x,y)=(\frac{3}{4};\frac{1}{2});(\frac{3}{8};\frac{1}{4})$

_______________________________________________________

Trình bày rối mắt quá, chấp nhận 1 cách giải thôi

$d = 9$

$S = 40$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:50

[Evariste Galois1998]

Từ phương trình 1 $\Leftrightarrow4(x-y)(2x-3y)=0$

$\Rightarrow$ x=1,5y hoặc x=y

TH1 x=y Thế vào phương trình 2 ta được $\Rightarrow3y^2-3y+1=0$ (vô nghiệm)

Hệ vô nghiệm

TH2 x=1,5y Thế vào phương trình 2 ta được $\Rightarrow8y^2-6y+1=0$

$\Rightarrow$ y=0,5 hoặc y=0,25

Hệ có 2 nghiệm (x;y) là (0,75;0,5) ; (0,375;0,25)

 

KL: Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là (0,75;0,5) ; (0,375;0,25)

_________________
$\LaTeX$ ?
$S = 20$ (châm trước)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:51

[Tran Nguyen Lan 1107]

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 (1)& & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y (2) & & \end{matrix}\right.$$

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

Từ (1) =>(x-y)(2x-3y)=0<=> x=y họăc 2x=3y

Với x=y thế vào (2) ta có$4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x<=>3x^{2}-3x+1=0$

Phương trình này vô nghiệm

Với 2x=3y thế vào (2) ta có $(3y)^{2}-3.3y+1=y^{2}-3y<=> 8y^{2}-6y+1=0<=>(2y-1)(4y-1)=0$

<=> $y=\frac{1}{2} hoặc y=\frac{1}{4}$<=> $x=\frac{3}{4} hoặc y=\frac{3}{8}$

Vậy hệ có 2 nghiệm $(\frac{3}{4},\frac{1}{2}),(\frac{3}{8},\frac{1}{4})$

______________
Hỏng $\LaTeX$, chú ý diễn đàn có chức năng xem bài trước

$S = 20$ (châm trước)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:49

[Vu Thuy Linh]

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}-8xy-12xy+12y^{2}=0\\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)(2x-3y)=0 (1)\\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y(2) \end{matrix}\right.$

Từ (1) $\Rightarrow x=y$ hoặc $2x=3y$

- Nếu x = y. Thay vào (2) ta có:

$4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x$

$\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$

$\Delta =-3< 0$ nên phương trình vô nghiệm

- Nếu 2x = 3y. Thay vào (2) ta có:

$9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y$

$\Leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0$

$\Leftrightarrow 8y^{2}-4y-2y+1=0$

$\Leftrightarrow (2y-1)(4y-1)=0$

$\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4}$ hoặc $y=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{8}$

Vậy $(x;y)\in \left \{ (\frac{3}{4};\frac{1}{2}),(\frac{3}{8};\frac{1}{4}) \right \}$

* Mở rộng :

Với trường hợp không thể phân tích phương trình (1) thành nhân tử có vế phải bằng 0. Cách giải chung:

Vì  y = 0 không là nghiệm của hệ. Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho $y^{2}$

Đặt $\frac{x}{y}=m$ ta đưa được về dạng $(m-a)^{2}=b$ ( với a và b là hằng số )

Tìm được $\frac{x}{y}$ thay vào phương trình (2) và tìm được nghiệm

Cụ thể trong bài: Chia 2 vế (1) cho $y^{2}$ 

(1) $\Leftrightarrow \frac{4x^{2}}{y^{2}}-\frac{10x}{y}+6=0$

$\Leftrightarrow (\frac{2x}{y}-\frac{5}{2})^{2}=\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{y}=1$ hoặc $\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$. Giải tương tự như trên ta tìm đươc nghiệm của hệ__

_________________________
Tạm coi cái mở rộng là cách giải khác, +5 điểm

$d = 9$

$S = 45$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:49

[angleofdarkness]

Ta có:

 

$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix} \right$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2-5xy+3y^2=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)(2x-3y)=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right$ $\left \langle 1 \right \rangle$ 

 

hoặc $\left\{\begin{matrix} 2x-3y=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right$ $\left \langle 2 \right \rangle$

 

- Xét hệ $\left \langle 1 \right \rangle$ , thay x = y vào phương trình dưới ta được $4y^2-6y+1=y^2-3y.$ $\Leftrightarrow 3y^2-3y+1=0.$ (1)

 

Phương trình (1) có $\Delta=(-3)^2-4.3.1=-3<0$ nên Phương trình (1) vô nghiệm, tức hệ $\left \langle 1 \right \rangle$ vô nghiệm.

 

$\Rightarrow$ hệ đã cho vô nghiệm. ( * )

 

- Xét hệ $\left \langle 2 \right \rangle$ , thay 2x = 3y vào phương trình dưới ta được $9y^2-9y+1=y^2-3y$ $\Leftrightarrow 8y^2-6y+1=0.$ (2)

 

$\Delta'=(-3)^2-8.1=1$ $\Rightarrow$ phương trình (2) có hai nghiệm $y=\left (\frac{1}{4}; \frac{1}{2} \right )$

 

$\Rightarrow$ hệ $\left \langle 2 \right \rangle$ có hai nghiệm $(x;y)=(\frac{1}{4};\frac{3}{8});(\frac{1}{2};\frac{3}{4})$ 

 

$\Rightarrow$ hệ đã cho có hai nghiệm  $(x;y)=(\frac{1}{4};\frac{3}{8});(\frac{1}{2};\frac{3}{4})$ (**)

 

Kết hợp ( * ) và (**) $\Rightarrow$ hệ đã cho có hai nghiệm  $(x;y)=(\frac{1}{4};\frac{3}{8});(\frac{1}{2};\frac{3}{4})$

 

 

 

[tranducmanh2308]

ta có:

$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+3y^{2}-5xy=0(1) & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y(2) & \end{matrix}\right.$

phương trình (1): $2x^{2}-5xy+3y^{2}=0$

$\Leftrightarrow 2x^{2}-2xy-3xy+3y^{2}=0$

$\Leftrightarrow 2x(x-y)-3y(x-y)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)(2x-3y)=0$

$\Leftrightarrow x-y=0$ hoặc $2x-3y=0$

$\Leftrightarrow x=y$ hoặc $x=\frac{3}{2}y$

Với x=y thay vào phương trình (2):

$4y^{2}-6y+1=y^{2}-3y$

$\Leftrightarrow 3y^{2}-3y+1=0$]

$\Leftrightarrow 3(y^{2}-y+\frac{1}{4})+\frac{1}{4}=0$

$\Leftrightarrow 3(y-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}=0$(vô nghiệm vì $3(y-\frac{1}{2})^{2}\geq 0$ mọi y nên $3(y-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}> 0$ mọi y)

Với $x=\frac{3}{2}y$ thay vào phương trình (2):

$4(\frac{3}{2}y)^{2}-6(\frac{3}{2}y)+1=y^{2}-3y$

$\Leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0$

$\Leftrightarrow 8y^{2}-4y-2y+1=0$

$\Leftrightarrow 4y(2y-1)-(2y-1)=0$

$\Leftrightarrow (4y-1)(2y-1)=0$

$\Leftrightarrow y=\frac{1}{4}$ hoặc $\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}$

+tại $y=\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}.\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$

+tại $y=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}.\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$

Vậy $(x,y)\in {{(\frac{1}{2};\frac{3}{4});(\frac{1}{4};\frac{3}{8})}}$ 

______________
$d=10$

$S = 43$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 09-03-2014 - 11:02

[pdtienArsFC]

Bài làm của MSS43:

Ta có HPT: $\left\{\begin{matrix} 8x^2+12y^2-20xy=0(1) & \\ 4x^2-6x+1=y^2-3y(2) & \end{matrix}\right.$

Xét $x= 0$.

Thay x=0 vào (1) ta được y=0.

Thay x=y=0 vào (2) ta thấy 0+1=0(Vô lý)

Vậy x=y=0 không phải là nghiệm của HPT.

Xét $x\neq 0$.

Từ (1), ta có:

$8x^2+12y^2-20xy=0$

$\Leftrightarrow 2x^2+3y^2-5xy=0(3)$.

Chia 2 vế của (3) cho $x^2$, ta được:

$2+3\frac{y^2}{x^2}-5\frac{y}{x}=0$

Đặt $\frac{y}{x}=t(t\neq 0)$, ta có:

$3t^2-5t+2=0$

$\Leftrightarrow (3t-2)(t-1)=0$

Vậy $t=\frac{2}{3}$ hoặc $t=1$

hay $y=\frac{2}{3}x$ hoặc y=x.

TH1: $y=\frac{2}{3}x$.

Thay $y=\frac{2}{3}x$ vào (2) ta có:

$\frac{32}{9}x^2-4x+1=0$

$\Leftrightarrow (4x-3)(8x-3)=0$

Vậy   $x=\frac{3}{4}\Rightarrow y=\frac{1}{2}$

hoặc $x=\frac{3}{8}\Rightarrow y=\frac{1}{4}$.

TH2: y=x.

Thay y=x vào (2) ta có:

$3x^2-3x+1=0$

$\Leftrightarrow 3(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}=0$ ( Vô lý)

Vậy nghiệm của HPT là $(x;y)\epsilon \left \{ (\frac{3}{4};\frac{1}{2}),(\frac{3}{8};\frac{1}{4}) \right \}$.

 

 

Mở rộng: PT(1) của HPT trên là PT đẳng cấp bậc 2. Với dạng tổng quát của PT đẳng cấp bậc 2, ta giải như sau:

Ta có: $ax^2+by^2+cxy=0$ (1)

Xét x=0. Từ đó suy ra y=0. Từ đó thay x=y=0 vào PT còn lại xem x=y=0 có phải là nghiệm của HPT không.

Xét $x\neq 0$.

Chia 2 vế của (1) cho $x^2$, ta được:

$(1)\Leftrightarrow a+b\frac{y^2}{x^2}+c\frac{y}{x}=0$

Đặt $\frac{y}{x}=t(t\neq 0)$.

Ta có: $bt^2+ct+a=0$.

Xét $\Delta =c^2-4ab$.

Sử dụng công thức nghiệm bậc 2, ta có:

$t=\frac{-c+\sqrt{\Delta }}{2b}$

hoặc $t=\frac{-c-\sqrt{\Delta }}{2b}$.

Từ đó rút x qua y và thế vào PT còn lại để tìm nghiệm của HPT.

_____________________________________
Trình bày hơi lê thê...

Mở rộng không chấp nhận

$d = 8$

$S =37$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:47

[Hoang Thi Thao Hien]

Đề của toán thủ : Best Friend

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0(1) & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y (2)& & \end{matrix}\right.$$

pt(1)$\Leftrightarrow 2x^2+3y^2-5xy=0\Leftrightarrow 2x^2-2xy-3xy+3y^2=0\Leftrightarrow(x-y)(2x-3y)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y\\2x=3y \end{bmatrix}$

- Với $x=y$ thì thay vào pt (2), ta có: $4x^2-6x+1-x^2+3x=0 \Leftrightarrow 4x^2-3x+1=0$ (vô nghiệm)

- Với $2x=3y$ thì thay vào (2) ta có: $9y^2-9y+1-y^2+3y=0\Leftrightarrow 8y^2-6y+1=0$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4}\\ y=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{8} \end{bmatrix}$

Vậy tập nghiệm pt là (x,y)=( $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$),($\frac{1}{4}$,$\frac{3}{8}$)

p/s: Thực ra em gửi bài này với 1 thắc mắc nho nhỏ là thường thì phuơng trình ở đề phải đc rút gọn chứ k phải như ở pt (1), em thực sự k hiểu mục đích của việc này là gì, nếu k có mục đích gì thì thôi ak

_____________________________________
Vây mục đích của bạn khi "cố tình" giải sai nghiệm là gì ?
$S = 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:45

[letankhang]

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$$

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

Ta có :
$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & (1)\\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y &(2) \end{matrix}\right.$
$(1)\Rightarrow 4(2x-3y)(x-y)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} 2x=3y & \\ x=y & \end{bmatrix}$
Xét : $2x=3y$
$(2)\Rightarrow 4x^{2}-6x+1-y^{2}+3y=0\Rightarrow 9y^{2}-9y-y^{2}+3y+1=0\Rightarrow 8y^2-6y+1=0\Rightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4} & \\ y=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{8} & \end{bmatrix}$
Thử lại các nghiệm trên đều thỏa.
Xét : $x=y$
$(2)\Rightarrow 4x^{2}-6x+1-y^{2}+3y=0\Rightarrow 3y^{2}-3y+1=0\Rightarrow 3(y-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}=0\Rightarrow PTVN$
Phương trình trên vô nghiệm suy ra hệ vô nghiệm với trường hợp $x=y$
Vậy :
$(x;y)\in \left \{ (\frac{3}{4};\frac{1}{2});(\frac{3}{8};\frac{1}{4}) \right \}$

_________________
$d = 10$

$S = 43$



 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:44

[Rias Gremory]

Bài làm của SIEUNHANVANG :

 

Ta có Hệ : $\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 (1) \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y (2) \end{matrix}\right.$

$(1)\Leftrightarrow 4(x-y)(2x-3y)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y \\ 2x=3y \end{bmatrix}$

$\blacksquare$ $x=y$ thay vào phương trình (2) ta được $3x^{2}-3x+1=0$

$\Delta =-3<$ Suy ra trường hợp này vô nghiệm

$\blacksquare$ $2x=3y$ thay vào phương trình (2) ta được $(3y)^{2}-9y+1=y^{2}-3y\Leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0\Leftrightarrow (2y-1)(4y-1)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{1}{2} \\ y=\frac{1}{4} \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{3}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$ hoặc $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{3}{8} \\ y=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

_______________________________________________
Cậu này thảo luận khá là khiếp, cộng thêm $8$ điểm

$d = 10$

$S = 61$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:43

[Near Ryuzaki]

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$$

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

 

 

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

Viết lại hệ : $\left\{\begin{matrix} 8x^2+12y^2-20xy=0(1)\\ 4x^2-6x+1=y^2-3y(2) \end{matrix}\right.$

Giải $(1)$. ta có : $8x^{2}+12y^{2}-20xy=0(1)$

Nếu $x=0$ thì $12y^2=0\Leftrightarrow y=0$ , Thế vào $(2)$ ta thấy cặp $(x;y)=(0;0)$ không thoã mãn.

Nếu $x\neq 0$ thì ta chia cả $2$ vế của $(1)$ cho $x^2\neq 0$, ta được :

$$(1)\Leftrightarrow 8+12(\frac{y}{x})^2-20(\frac{y}{x})=0(3)$$

Đặt $\frac{y}{x}=t$ thì 

$(3)\Leftrightarrow 8+12t^2-20t=0$

Giải phương trình trên ta được $t=1$ hoặc $t=\frac{2}{3}$

Với $t=1$ thì $x=y$ , thế vào $(2)$ , ta có : 

$$4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x\Leftrightarrow 3x^2-3x+1=0$$ nên vô nghiệm

Với $t=\frac{2}{3}$ thì $\frac{y}{x}=\frac{2}{3}\Rightarrow y=\frac{2}{3}x$, thế vào $(2)$ , ta được

$4x^{2}-6x+1=\frac{4x^2}{9}-2x\Leftrightarrow x=\frac{3}{4},x=\frac{3}{8}\Rightarrow y=\frac{1}{2},y=\frac{1}{4}$

Vậy tập nghiệm của hệ là $$(x;y)\in\begin{Bmatrix} (\frac{3}{4};\frac{1}{2}),(\frac{3}{8},\frac{1}{4}) \end{Bmatrix}$$
_______________________
$d = 10$

$S = 43$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:40