Chủ đề này có 2 trả lời

[leduylinh1998]

Cho a,b,c là các số dương. CMR:

$A=\sum \frac{(a+b)c}{(a+b)^{2}+c^{2}}\leq \frac{6}{5}$

[kfcchicken98]

$\frac{(a+b)c}{(a+b)^{2}+c^{2}}=\frac{(a+b)c}{\frac{3(a+b)^{2}}{4}+\frac{(a+b)^{2}}{4}+c^{2}}\leq \frac{(a+b)c}{\frac{3(a+b)^{2}}{4}+c(a+b)}=\frac{4c}{3(a+b)+4c}$

giờ cần CM$\sum \frac{a+b}{3a+3b+4c}\geq \frac{3}{5}$

có $\sum \frac{(a+b)^{2}}{3(a+b)^{2}+4c(a+b)}\geq \sum \frac{4(a+b+c)^{2}}{6a^{2}+6b^{2}+6c^{2}+14(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{5}$

tương đương $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca)$ đúng

đpcm

[Hoang Tung 126]

Cho a,b,c là các số dương. CMR:

$A=\sum \frac{(a+b)c}{(a+b)^{2}+c^{2}}\leq \frac{6}{5}$

Cách khác .Chuẩn hoá $a+b+c=3$.Do đó 

BDT $< = > \sum \frac{c(3-c)}{c^2+(3-c)^2}\leq \frac{6}{5}< = > \sum \frac{1}{2c^2-6c+9}\leq \frac{3}{5}$

Mà $\frac{1}{2c^2-6c+9}\leq \frac{2c+3}{25}< = > 2c^3+1\geq 3c^2$(Luôn đúng theo AM-GM cho 2 số)

 $= > \sum \frac{1}{2c^2-6c+9}\leq \sum \frac{2c+3}{25}=\frac{2\sum c+9}{25}=\frac{2.3+9}{25}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$