Chủ đề này có 4 trả lời

[RoyalMadrid]

Cho x,y,z là các số thực nằm trong đoạn $\left [ \frac{1}{2};1 \right ]$. Tìm gtnn, gtln của biểu thức:

$P=\frac{x+y}{1+z}+\frac{z+y}{1+x}+\frac{x+z}{1+y}$

[VNSTaipro]

Cho x,y,z là các số thực nằm trong đoạn $\left [ \frac{1}{2};1 \right ]$. Tìm gtnn, gtln của biểu thức:

$P=\frac{x+y}{1+z}+\frac{z+y}{1+x}+\frac{x+z}{1+y}$

$P= \sum \frac{x+y}{1+z}=\sum \frac{(x+y)^2}{(x+y)+z(x+y)}$

$\geq \frac{4(x+y+z)^2}{2\sum x+2\sum xy}$

$\geq \frac{2(\sum x)^2}{\sum x+\frac{1}{3}(\sum x)^2}$

$=\frac{6\sum x}{3+\sum x}$

Vì $\frac{3}{2}\leq \sum x\leq 3$ nên $MIN P=2$ khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

[VNSTaipro]

$MAX$ mới nghĩ ra

$P=\sum \frac{x+y}{1+z}=\sum \frac{x}{1+z}+\sum \frac{y}{1+z}$

$\leq \sum \frac{x}{x+z}+\sum \frac{y}{y+z}=3$

(Vì $x,y,z\leq 1$)

[RoyalMadrid]

 

$P= \sum \frac{x+y}{1+z}=\sum \frac{(x+y)^2}{(x+y)+z(x+y)}$

$\geq \frac{4(x+y+z)^2}{2\sum x+2\sum xy}$

$\geq \frac{2(\sum x)^2}{\sum x+\frac{1}{3}(\sum x)^2}$

$=\frac{6\sum x}{3+\sum x}$

Vì $\frac{3}{2}\leq \sum x\leq 3$ nên $MIN P=2$ khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

 

Bạn giải thích kĩ hơn phần biến đổi đầu đk k? Mình chưa hiểu lắm

[VNSTaipro]

Bạn giải thích kĩ hơn phần biến đổi đầu đk k? Mình chưa hiểu lắm

Nhân $(x+y)$ cả tử và mẫu rồi dùng trực tiếp Cauchy Schwarz